潮汐锁定类地行星从眼球到雪球状态的转变：海冰漂移的驱动作用

作者：

Jun Yang, Weiwen Ji, Yaoxuan Zeng

摘要

围绕低质量恒星运行的潮汐锁定类地行星是未来大气特征研究的首要目标，尤其是附近的三颗行星——Proxima b（参考文献2）、TRAPPIST-1e（参考文献3）和LHS 1140b（参考文献4）。先前的研究表明，如果这些行星表面存在海洋，它们可能处于“眼球”气候状态（参考文献5,6,7,8,9,10）：在恒星直射点附近无冰，其余区域被冰覆盖。然而，气候系统的一个重要组成部分——海冰动力学——在之前的研究中并未得到充分考虑。一个根本问题是，开放海洋是否能够稳定地抵抗全球冰覆盖的“雪球”状态。本文表明，当海冰向较暖的恒星直射区域漂移并融化时，海冰漂移会通过吸收海洋和上方空气的热量来冷却海洋表面。结果，开放海洋缩小，甚至可能消失，导致行星进入雪球状态。这种现象在同步自转和自旋轨道共振（如3:2）中均会发生。这些结果表明，海冰漂移显著减少了开放海洋的面积，并可能对潮汐锁定行星的宜居性产生重要影响。

正文

海冰漂移由表面风和洋流驱动，通过热量和淡水的输送直接影响冰浓度、冰增长和融化、冰厚度、表面反照率以及海气热交换（参考文献11,12）。因此，海冰漂移在地球气候系统中扮演着关键角色；例如，约6.3亿至7.5亿年前可能发生过雪球地球事件（参考文献13,14）。当考虑海冰漂移时，雪球地球形成的二氧化碳浓度阈值比不考虑海冰漂移的模拟高出约100倍（参考文献15,16）。在本研究中，我们探讨了海冰漂移对围绕M矮星运行的潮汐锁定行星的影响。我们通过三维全球气候模型模拟了九颗岩石行星在其恒星宜居带外缘的同步自转或3:2自旋轨道共振下的气候状态（补充表1）。通过比较包含海冰漂移和不包含海冰漂移的实验，我们探讨了海冰漂移的作用（方法部分）。

在仅考虑大气的三维气候实验中（排除海洋和海冰动力学的作用），行星在恒星直射点下方存在开放海洋，其余区域被冰覆盖，称为“眼球”气候状态（参考文献5,6,7,8,9）（图1及补充图1和2）。当加入海洋动力学时，全球平均冰覆盖率通常降低，开放海洋的空间模式发生变化（在某些情况下类似于“龙虾”），因为洋流、罗斯贝波和开尔文波将热量从恒星直射区域输送到冰缘并融化冰（参考文献10,17）。当进一步加入海冰动力学时，TRAPPIST-1e、Kepler-1229b、LHS 1140b、Kapteyn b和TRAPPIST-1f进入冰覆盖率接近100%的雪球状态，而Proxima b和Wolf 1061c的冰覆盖率分别从69%增加到72%和从67%增加到75%。这些结果表明，海冰漂移缩小了开放海洋，而海洋热输送则扩大了开放海洋。对于接收较低恒星通量（小于约800 W m⁻²）的行星，前者的作用强于后者。Kepler-442b和Proxima b未进入雪球状态，主要是因为它们的高恒星通量，分别为956和887 W m⁻²。

图1：同步自转轨道中的海冰浓度。

左列：仅大气的三维模拟（标记为“Atm”）。中列：大气-海洋耦合模拟（“Atm + Ocn”）。右列：完全耦合的大气-海洋-海冰模拟（“Atm + Ocn + Ice drift”）。行星按恒星通量从高到低排列（补充表1）。在每个面板中，x轴为经度（0°至360°），y轴为纬度（90°S至90°N），红点为恒星直射点。每个面板左上角的百分比为海洋的平均冰覆盖率。默认情况下，空气柱质量为1.0 × 10⁴ kg m⁻²（与现代地球相同），二氧化碳柱质量约为4.5 kg m⁻²（对应300 ppmv的混合比），甲烷柱质量约为0.004 kg m⁻²（0.8 ppmv），表面为水深约1,000米（均匀）的海洋世界，自转周期等于轨道周期。对于TRAPPIST-1f和Kepler-186f，二氧化碳柱质量设置为约1500 kg m⁻²（或10⁵ ppmv），甲烷柱质量设置为约5 kg m⁻²（或1,000 ppmv），以补偿其低恒星通量。海洋动力学扩大了开放海洋的面积，但海冰动力学减少了开放海洋的面积。例外的是，在Kepler-442b的“Atm + Ocn + Ice drift”实验中，海冰覆盖率比“Atm + Ocn”实验低2%，因为前者的洋流更强。有关行星半径、自转周期和重力如何影响结果的详细信息，请参见补充图4-7。

海冰漂移的重要性通过检查雪球冰川开始的恒星通量阈值进一步得到证实。当使用地球的半径、重力和10地球日的自转周期时，仅大气实验和大气-海洋耦合实验中的恒星通量阈值为500 W m⁻²，但在完全耦合的大气-海洋-海冰实验中，该阈值为800 W m⁻²（补充图3）。这表明，海冰漂移在驱动系统进入雪球状态方面的效果相当于减少了300 W m⁻²的恒星辐射。

敏感性测试表明，海冰漂移在增加冰覆盖率方面对广泛的参数（包括行星自转周期、重力和半径）均有效（补充图4-7）。在完全耦合的大气-海洋-海冰实验中，与不包含海冰动力学的大气-海洋耦合实验相比，海冰漂移使全球平均冰覆盖率增加了约5-30%。在大气环流的两种状态下，快速自转（L < R，其中L为赤道罗斯贝变形半径^18,19，R为行星半径）和慢速自转（L > R），海冰漂移都会缩小开放海洋的面积。此外，结果不依赖于内部冰压缩强度（补充图8d），这是海冰动力学模块中的主要调参参数¹²。这是因为冰的厚度为O(1–10 m)^10,17（补充图9），而冰运动的主要驱动力是空气-冰应力和海洋-冰应力，内部冰应力则较弱²⁰。

为什么海冰动力学在驱动系统进入雪球状态方面如此高效？答案是海冰融化过程中的热量吸收和海冰流动相关的表面反照率增加的联合效应（图2）。对于同步自转轨道，夜侧比昼侧冷得多，因此水平表面温度梯度特别大，尤其是在晨昏线附近（补充图2）。强烈的温度梯度驱动强劲的表面风，将冰从较冷的区域输送到恒星直射点周围的较暖区域（图2f）。部分漂移的冰持续存在并导致表面反照率增加，部分漂移的冰融化并导致海洋冷却（图2b），因为融化过程吸收了海洋和上方大气的热量，然后新的漂移冰流向融化区域。在海冰漂移实验中，冰缘附近的热量吸收高达O(10–100 W m⁻²)，而在没有海冰漂移的实验中，这一数值小一个数量级。这种冷却效应比冰反照率反馈更有效（图2c），后者由于M矮星光谱下的低冰反照率（≈0.1–0.35）²¹和云的掩蔽效应而较弱。昼侧形成的厚云²²减少了表面对行星反照率的贡献。这种掩蔽效应在改变冰反照率的实验中得到进一步证实（补充图10）。只要表面反照率低于与云和瑞利散射相关的大气反射，增加冰反照率对气候

图2：海冰漂移效应的物理机制

a–d, LHS 1140b实验中全球平均海冰覆盖率（a）、恒星直射点附近区域（纬度30°S至30°N，经度150°至210°）的平均表面温度（b）、全球平均表面反照率（c）和行星反照率（d）的时间序列。e,f, 实验中第五年海冰形成期间的热释放（正值）和海冰融化期间的热吸收（负值）的空间分布。e和a–d中的红线表示大气-海洋耦合实验，f和a–d中的蓝线表示完全耦合的大气-海洋-海冰实验。f中的箭头表示海冰速度。e,f中的细线表示冰浓度为50%的冰缘，红点为恒星直射点。注意，在d中，雪球状态下的行星反照率较低（蓝线），因为云水路径减少。海冰动力学通过增加表面反照率和在冰融化期间冷却海面来增加冰覆盖率。完整演化过程见补充视频1。

大陆对开放海洋面积的影响

大陆可以影响开放海洋的面积。例如，当在模拟中包含大陆时，TRAPPIST-1e的恒星直射区域可能仍然存在开放海洋（图3）。当恒星直射点位于陆地上时，开放海洋的面积比位于海洋上时小。特别是，当超大陆覆盖恒星直射区域时，行星进入雪球状态（补充图11）。这意味着，当板块构造将大陆驱动到昼侧时，潮汐锁定行星更容易进入雪球状态。在这些实验中，与不包含海冰漂移的实验相比，海冰漂移仍然明显增加了冰覆盖率。结论的稳健性源于机制的简单性：在冰缘，表面风的方向总是从冷区域（对应高压）向暖区域（低压）吹²³，这些风将海冰推向恒星直射区域。然而，由于大陆的阻挡和摩擦，海冰漂移以及海洋热输送的效应比在水世界配置中弱。

图3：大陆对海冰浓度的影响

“Atm + Ocn”，不包含海冰漂移的大气-海洋耦合实验；“Atm + Ocn + Ice drift”，包含海冰漂移的完全耦合的大气-海洋-海冰实验。使用了两种不同的配置（灰色）：现代地球和6.3亿年前的地球。红点为恒星直射点，分别位于非洲附近、大西洋中心、开放海洋中心和一个大陆上。箭头表示海冰速度。每个面板左上角的百分比为海洋的平均冰覆盖率。实验中使用了TRAPPIST-1e的参数；空气柱质量为1.0 × 10⁴ kg m⁻²，二氧化碳柱质量约为4.5 kg m⁻²。上两幅图中使用了真实的海洋深度，下两幅图中使用了均匀的4000米海洋深度。使用理想化大陆的测试显示了海冰漂移效应的相同趋势（补充图11）。实验中使用了相对较低的分辨率（方法部分）；增加模型分辨率对结果的影响非常小，如补充图12所示。

自旋轨道共振轨道的影响

对于自旋轨道共振轨道，例如类似水星的3:2轨道，所有经度都会接收到恒星辐射，但赤道的平均辐射时间远低于1:1轨道的永久恒星直射点。在不包含海冰漂移的实验中，Proxima b和TRAPPIST-1e由于其较短的太阳日（分别约为22和12地球日）表现出热带水带气候^6,8,9,10，而Kepler-442b和Wolf 1061c由于其较长的太阳日（分别为224和36地球日）具有随恒星直射点移动的椭圆形开放海洋（图4）。然而，海冰漂移使TRAPPIST-1e和Kepler-442b进入雪球状态，并将Proxima b和Wolf 1061c的冰覆盖率分别从48%增加到56%和从67%增加到69%。LHS 1140b以及Kepler-1229b、Kapteyn b、TRAPPIST-1f和Kepler-186f由于其低恒星通量，无论是否包含海冰漂移，均进入雪球状态。

图4：3:2共振轨道中的冰浓度快照

左列：不包含海冰漂移的大气-海洋耦合实验。右列：包含海冰漂移的完全耦合的大气-海洋-海冰实验。实验设计与图1相同，除了轨道周期与自转周期的比例为3:2，而非1:1（补充表2）。海冰动力学减少了开放海洋的面积，并使TRAPPIST-1e进入雪球状态，Kepler-442b进入接近雪球的状态。Kepler-1229b、Kapteyn b*、TRAPPIST-1f和Kepler-186f的结果与LHS 1140b相似，均为雪球状态，这是由于它们相对较低的恒星通量（<700 W m⁻²）。有关恒星通量、行星半径、自转周期、表面反照率和混合层深度如何影响结果的详细信息，请参见补充图13-17。

1:1和3:2轨道的影响

对于1:1和3:2轨道，行星半径较小（较大）的行星会有较高（较低）的海冰覆盖率（补充图4、7和16）。主要原因是半径的变化影响大气和海洋环流，海洋热输送随着半径的增加而增强（补充图5和6）。这就是为什么TRAPPIST-1e进入雪球状态，而Wolf 1061c没有（图1和图4），尽管它们的恒星通量几乎相同，分别为821和819 W m⁻²。TRAPPIST-1e的半径仅为Wolf 1061c的56%。此外，自转周期的变化影响海冰的空间分布，但在1:1轨道下对全球平均冰覆盖率的影响不显著（补充图4和5）；然而，在3:2轨道实验中，全球平均冰覆盖率随着自转周期的增加而显著增加（补充图14和15）。自转周期决定了共振轨道的昼夜长度（$L=\frac{3}{2}P$，其中$P$为自转周期，$P$为轨道周期），但对于同步轨道则不然。对于3:2轨道，$L$是$P$的三倍。在较长的夜晚中，更多的冰可以形成，并且在白天，尤其是在早晨，冰会将更多的恒星辐射反射回太空²⁴。这是Kepler-442b的冰覆盖率远高于Proxima b的原因之一（图4），尽管Kepler-442b的恒星通量较高。它们的昼夜长度分别为224和22地球日。另一个原因是Kepler-442b的冰反照率较高：（0.75, 0.30）对比（0.65, 0.15）。3:2轨道中的冰反照率效应比1:1轨道更强，因为当恒星直射点不断移动时，更多的恒星辐射可以沉积在冰上²⁴。

高背景空气质量的影响

我们还发现，高背景空气质量（如N₂）也可能驱动系统进入雪球状态。例如，LHS 1140b的冰覆盖率随着背景空气质量的增加而增加，当空气质量≥3倍地球值时，冰覆盖率甚至达到100%（补充图3d）。主要原因是增加空气质量通过瑞利散射增强了行星反照率，并增加了从昼侧到夜侧的大气热输送²⁵，从而温暖了夜侧表面但冷却了昼侧表面（补充图18）。因此，当冰缘已经越过晨昏线时，海冰更容易向恒星直射区域扩展，促进雪球的形成。压力增宽的增温效应²⁶较弱，因为这些实验中水蒸气浓度较低。

海冰动力学对温室气体浓度的影响

由于海冰动力学的影响，维持显著大面积开放海洋所需的温室气体浓度比不包含海冰漂移的实验更高（或如果考虑活跃的碳循环^27,28，火山脱气速率应更快）。例如，在包含海冰漂移的实验中，CO₂混合比应从300 ppmv增加到19,200 ppmv（百万分之一体积），以维持TRAPPIST-1e上约20%全球面积的开放海洋（补充图8对比图1）。对于LHS 1140b，除了将CH₄从0.8 ppmv增加到1,000 ppmv外，CO₂混合比还必须从300 ppmv增加到76,800 ppmv，以维持约15%全球面积的开放海洋。

如何区分三种气候状态

我们如何在观测中区分“眼球”、“龙虾”和“雪球”三种气候状态？在雪球状态下，水蒸气浓度较低，昼夜热发射对比度比其他两种状态小（补充图19）。不幸的是，差异的幅度较小，区分它们可能需要詹姆斯·韦伯太空望远镜或地面极端大型望远镜^1,29。在行星反照率（用于反射相位曲线观测）中，差异也较小，因为上述云的掩蔽效应。有趣的是，Proxima b的热相位曲线的峰值在大气-海洋耦合实验中表现出约30°的负相位角位移，而在完全耦合的大气-海洋-海冰实验中表现出约45°的正位移。前者主要是因为热带西风将云输送到恒星直射点的东侧，那里的云在低温下向太空发射热辐射^19,22。后者是因为海冰漂移显著增加了恒星直射点西侧的冰浓度（图1），冷却了那里的表面（补充图2），并减少了向太空的热发射。

雪球状态对生命的影响

最后，我们注意到雪球状态是对生命及其进化的极端压力，但这并不意味着系统完全不适合居住。光合生物可能在薄冰区域发展，那里恒星辐射可以穿透冰层（如恒星直射点附近），在局部无冰区域（那里有高水平的地热）或在狭窄的边缘海域（那里冰漂移受到海侧壁的限制）³⁰。未来的工作需要估计冰盖动力学的影响。

方法

气候模型与实验设计

我们使用了一个三维全球气候模型，即美国国家大气研究中心开发的社区气候系统模型第3版（CCSM3）。该模型旨在理解地球在当前、过去和未来的气候^31,32。我们对该模型进行了修改，以模拟低质量恒星宜居带中潮汐锁定类地行星的气候^{17,20,33,34,35}。该模型包括四个组件——大气、海洋、海冰和陆地——并通过一个耦合器将它们连接起来。大气组件是三维大气环流模型社区大气模型第3版（CAM3）³⁶。海洋组件是三维海洋环流模型并行海洋程序（POP1）³⁷。陆地组件是社区陆地模型（CLM3）³⁸。海冰组件是社区海冰模型（CSIM5），它模拟了五个厚度类别的海冰，每个类别有四个垂直层³⁹。CSIM5可以仅运行热力学模块，或同时运行热力学和动力学模块；这种灵活性使我们能够明确地研究海冰动力学对气候的影响。在本工作中，我们使用CCSM3进行了三种类型的实验。第一种是仅大气实验，耦合到一个薄层海洋。实验中考虑了大气热力学和动力学。在薄层海洋中，考虑了海洋和海冰的热效应，但未包括海洋动力学或海冰动力学；即海洋和海冰都是静止的。第二种是大气-海洋耦合模拟，考虑了大气热力学和动力学、海洋热力学和动力学以及海冰热力学，但未包括海冰动力学。第三种是完全耦合的大气-海洋-海冰模拟，考虑了所有大气、海洋和海冰的热力学和动力学。通过比较第一组和第二组实验，我们可以估计海洋热输送的影响；通过比较第二组和第三组实验，我们可以研究海冰漂移的影响。本工作中使用了CCSM3的低分辨率版本，标记为“T31_gx3”。对于地球，该分辨率能够解析大尺度大气和海洋环流，并勉强解析大气中的中纬度中尺度涡旋，但海洋中的中尺度涡旋通过Gent和McWilliams方案⁴⁰进行参数化。

大气和陆地组件具有相同的水平分辨率，经向（南北）和纬向（东西）方向均为3.75°。大气有26个垂直层次，从地表到约36公里，包括整个对流层和部分平流层。海洋和海冰组件具有相同的水平分辨率，赤道附近为0.9°，极地附近为3.6°（经向方向），纬向方向为3.6°（恒定）。所有实验均从无冰状态开始。测试表明，最终的平衡状态不依赖于初始状态³³。对于潮汐锁定行星，几乎没有气候双稳态或滞后现象²⁸。这是因为恒星通量在接近恒星直射点时显著增加。每个实验运行了数十、数百或数千地球年，主要取决于海洋深度。注意，在雪球状态下，全球平均冰覆盖率总是略低于100%（图1），这可能是因为我们的积分周期（总是小于1,000地球年）不够长。为了测试模型分辨率对结果的影响，我们进行了另一个更高分辨率的实验：大气和陆地组件的水平分辨率为2.8°×2.8°，海洋和海冰组件在赤道附近的分辨率为0.3°，极地附近为1.0°，海洋有40个垂直层次，而不是默认的26层。将这一高分辨率实验与默认实验进行比较，全球平均海冰覆盖率的差异小于1%，空间分布相似，只是高分辨率实验在冰缘附近有更多的精细结构（补充图12）。

本研究与先前研究的比较

大多数先前关于潮汐锁定类地行星的研究使用了仅大气的三维全球模型，耦合到一个薄层海洋^{5–9,19,21,27,28,41–62}。这些工作未考虑海洋动力学或海冰动力学。最近的研究^10,17,33,63发现，完全耦合的大气-海洋-海冰过程对于模拟潮汐锁定行星上海冰的空间分布和厚度非常重要。然而，这些模拟中同时包括了海洋动力学和海冰动力学，因此每个过程的作用尚不清楚。Cullum等人^64,65使用仅海洋模型研究了行星自转速率和海洋盐度对温盐环流的影响。然而，他们的模拟未考虑风驱动的海洋环流以及海洋、大气和海冰之间的相互作用。在这里，我们通过开启或关闭模型中的海冰动力学模块，明确区分了海洋动力学和海冰动力学这两个过程的影响。将海冰漂移效应与海洋动力学效应分开是重要的。例如，Hu和Yang¹⁷表明，在完全耦合的大气-海洋-海冰实验中，进入雪球状态的恒星通量阈值远高于仅大气实验（类似于补充图1中所示）；然而，由于海洋动力学和海冰动力学都会影响海冰覆盖率，其潜在机制尚不清楚。在本文中，我们明确表明海冰动力学是关键机制，而海洋动力学具有相反的效果。此外，据我们所知，尚未有研究将海洋动力学或海冰动力学应用于TRAPPIST-1e或TRAPPIST-1f，也没有三维全球气候模拟应用于LHS 1140b、Wolf 1061c、Kepler-1229b、Kapteyn b或Kepler-186f。Hu和Yang¹⁷的工作集中在未确认的行星Gl 581g上，而Del Genio等人¹⁰仅研究了行星Proxima b。这两颗行星的恒星通量较高（>850 W m⁻²），因此它们的气候较温暖，这不利于揭示海冰漂移的影响，如本文所示。

海冰漂移与冰反照率

海冰漂移方程为：

$$\rho \frac{\partial u}{\partial t}={\tau }_a+{\tau }_o-fk\times u+g{H}_o+\nabla \cdot {\sigma }_{ij}$$

其中，$\rho$是海冰和雪的平均密度，$u$是海冰速度，$f$是科里奥利参数，$g$是行星重力。方程右侧的项分别为空气-冰应力（${\tau }_a$）、海洋-冰应力（${\tau }_o$）、科里奥利力、与海洋表面坡度相关的压力力（$H_o$）和内部冰应力（${\sigma }_{ij}$）。${\sigma }_{ij}$是一个二阶张量，$i$和$j$的取值为1、2或3。模型中未考虑非线性平流项，因为它们可以忽略³⁹。${\tau }_a$和${\tau }_o$是主要驱动力，其他项在地球^66,67和潮汐锁定行星²⁰上均较小。对于给定的海冰速度，我们模拟中的科里奥利力比地球小，因为自转速率较慢。海洋热输送和海冰流动显著限制了潮汐锁定行星上的海冰厚度^10,17,20，因此在包含海洋和海冰动力学的实验中，海冰厚度仅为几米或几十米（补充图9），因此我们不需要考虑海冰川动力学^30,68。在行星进入雪球状态后，冰厚度可能达到1,000米甚至更多。这种厚冰可以在自身重量下流动，但这一过程超出了本文的范围。在这里，我们关注的是从无冰状态或部分冰覆盖状态到雪球状态的过渡过程，在此期间冰较薄。

海冰生长（融化）期间的热释放（吸收）通过以下公式计算：

$$H={\rho }_i{L}_i\frac{dh}{dt}$$

其中，${\rho }_i$是冰密度（917 kg m⁻³），$L_i$是冰的融化潜热（3.337 × 10⁵ J kg⁻¹），$\frac{dh}{dt}$是生长速率或融化速率。由于$L_i$的值非常高，小的生长或融化速率需要大量的能量。例如，$\frac{dh}{dt}$为2.8 cm d⁻¹时，对应的能量通量为100 W m⁻²。对于围绕M矮星运行的行星，由于恒星光谱相对于太阳的红移，冰反照率应低于地球^21,57，除非在低温下形成水氯镁石（NaCl·2H₂O）外壳。水氯镁石在近红外波段比裸冰甚至雪更反光⁶⁹。我们进行了几个不同冰反照率的敏感性实验（补充表1和2）。为简单起见，假设雪的反照率与冰相同。如果使用更高的雪反照率，行星可能会在更高的恒星通量或CO₂浓度阈值下进入雪球状态，但这不会影响我们关于海冰动力学的结论。

行星属性

补充表1列出了九颗行星的观测参数（https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_potentially_habitable_exoplanets），以及地球的值作为参考。所有这些行星可能都具有岩石成分（0.5 R_⊕ ≤ R_p ≤ 1.6 R_⊕ 且 0.1 M_⊕ ≤ M_p ≤ 6 M_⊕，其中 R_⊕ 是地球半径，M_⊕ 是地球质量，M_p 是行星质量），并且位于低质量恒星液态水宜居带的外缘（S_p ≤ 0.7 S_⊕，其中 S_p 是恒星直射点的恒星通量，S_⊕ 是地球的恒星通量，1,365 W m⁻²）。我们使用来自BT-Settl恒星模型⁷⁰的入射恒星光谱。这些行星靠近宿主恒星，因此它们可能处于同步自转轨道（即自转周期 = 轨道周期，具有永久的昼和夜），或者如果轨道偏心率非零⁷¹或热潮汐效应显著⁷²，则可能处于自旋轨道共振状态。在这里，我们研究了两种类型的轨道：同步自转和3:2自旋轨道共振。TRAPPIST-1系统中有七颗行星；在这里，我们重点关注TRAPPIST-1e和TRAPPIST-1f，它们可能适合居住。TRAPPIST-1系统中的其他五颗行星不在宜居带内^7,9。注意，观测参数存在显著的不确定性。例如，Gillon等人³报告称，TRAPPIST-1e的恒星通量为0.662 S_⊕（用于Wolf的模拟⁷）；然而，使用斯皮策太空望远镜的新观测⁷³发现，恒星通量可能为0.604 S_⊕（用于本研究）。此外，最近的盖亚任务数据显示，在更新恒星距离后，TRAPPIST-1e的恒星通量可能比之前的估计高5.5%，LHS 1140b的恒星通量可能高44%⁷⁴。为了研究恒星通量的不确定性对结果的影响，我们对TRAPPIST-1e进行了额外的实验，恒星通量为904 W m⁻²，与默认值821 W m⁻²进行比较。我们发现，在完全耦合实验中，全球平均海冰覆盖率从雪球状态下降到83%。行星质量和半径（以及由此估计的重力）也存在一些不确定性^73,75。然而，这些不确定性不会影响我们在给定行星参数下关于海冰动力学的结论。为了测试恒星通量、行星自转周期、大小和重力对海冰覆盖率的影响，我们还进行了几组敏感性实验。测试的参数（补充表2）几乎涵盖了M矮星宜居带外缘所有可能的潮汐锁定类地行星的范围。实验中地热通量为零。

大气质量与温室气体浓度

由于目前的望远镜仍无法测量M矮星宜居带中地球大小行星的大气成分，这些行星的大气情况尚不清楚。光解模型^76,77,78已被用于研究这一问题，并发现许多大气情景是可能的，包括无大气、CO₂主导的大气（类似于火星和金星）、N₂主导的大气（类似于地球和土卫六）、在宿主恒星主序前阶段H逃逸后O₂主导的大气等。在本工作中，我们假设大气类似于现代地球或早期地球，以N₂为主，含有CO₂、CH₄和H₂O，正如之前的研究^7,8,10。我们测试了不同的背景空气质量，分别为3.1 × 10³、1.0 × 10⁴（默认值）、2.0 × 10⁴、3.1 × 10⁴和1.0 × 10⁵ kg m⁻²的柱质量，对应的表面压力分别为1.01、3.24、6.28、10.1和32.4 bar（例如LHS 1140b的重力为31.8 m s⁻²）。当我们比较行星之间的气候差异时，我们使用相同的柱空气质量而不是表面压力，因为表面压力取决于重力。默认情况下，大气CO₂混合比为300 ppmv，CH₄为0.8 ppmv，N₂O为0.27 ppmv，类似于现代地球。我们还考虑了高浓度的温室气体，类似于早期地球，例如1,000 ppmv的CH₄和1,200、4,800、19,200、76,800和10⁵ ppmv的CO₂。当然，更高的CO₂浓度也是可能的，这可能会融化所有海冰¹⁷，然后海冰动力学将不再起作用。对于Proxima b，我们测试了较低的CO₂浓度，分别为3和30 ppmv；还进行了一个无温室气体的实验（CO₂、CH₄和N₂O均为零），以确定如果没有温室气体，Proxima b是否会进入雪球状态（补充图8）。在研究空气质量变化的影响时，温室气体质量（而不是混合比）设置为相同，例如，对于1.0 × 10⁴和1.0 × 10⁵ kg m⁻²的柱空气质量，CO₂混合比分别为300和30 ppmv，因此在这两组中，CO₂柱质量相同，约为4.5 kg m⁻²。注意，CO₂以及其他温室气体的温室效应由绝对分子数决定。如上所述，我们考虑了几种不同的大气成分，但这些仍然非常有限，主要是由于模型的辐射传输模块的限制。然而，我们的工作是研究海冰动力学对气候的影响，我们相信我们的实验足以实现这一目标。

陆地-海洋分布与海洋深度

在本工作中使用了多种不同的陆地-海洋分布：水世界、现代地球、6.3亿年前的地球、理想化的热带超大陆和两种理想化的超大陆。水世界没有大陆，除了在南极和北极添加了两个小岛，因为海洋网格的极点必须位于大陆上³²。由于计算限制，水世界实验的海洋深度默认设置为1,000米，因此仅考虑了风驱动的海洋环流，而未考虑深海环流，后者需要更长的积分时间。我们还进行了两个海洋深度为4,000米（接近地球的平均值）的额外实验。对于包含大陆的配置，海洋深度默认设置为4,000米，除了在现代地球配置中使用真实的海洋深度。恒星直射点位于海洋或陆地上。海水盐度和海冰盐度均设置为4 g kg⁻¹，以最小化盐度环流的影响，盐度环流也需要较长的积分时间。冰点恒定为−1.8 °C。在仅大气实验中，使用了50米（默认值）的薄层海洋。对于1:1轨道，混合层深度不会影响最终的平衡状态²²。对于3:2共振轨道，我们还测试了四种不同的薄层海洋深度，分别为1、5、10和350米（补充图17）。混合层深度可以显著影响结果。350米的值接近耦合实验中内部计算的热带深层的平均混合层深度。