前言

气候动力学是气候学、大气动力学、物理海洋学等方面研究最基础的课程，所以我将其选为重点学习的科目。自己在本科阶段曾经学过《物理海洋学》课程，但是一直觉得还应该再深入一点，打好基本功。 这里使用的是英国埃克斯特大学Geoffrey K. Vallis撰写的Essentials of Atmospheric and Oceanic Dynamics作为基本参考。

引言

这是一本关于大气和海洋动力学的入门书籍，结合了适量的地球物理流体动力学内容。本书大致针对高年级本科生或初级研究生，但部分内容也适合一、二年级本科生阅读。我希望实践科学家们也能发现这本书的实用价值。

本书专为那些希望对该主题有初步了解的学生和科学家设计，但他们可能暂时不需要所有的细节。本书的先决条件仅是熟悉一些向量微积分和基础经典物理学。因此，本书旨在对非专业学生也具有可读性，哪怕他们将来不一定会成为专业的动力学家。

然而，除了非常基础的内容外，本书还包括一些高级主题的初步介绍，例如残余环流和湍流理论，以及关于大气和海洋一般环流的材料。更高级的部分对于初次课程来说可以跳过，类似于高难度的滑雪坡道，用菱形符号 (♦)标记。

读者可以在提供的参考文献中进一步探索这些主题，或在本书的“母版”——《大气与海洋流体动力学》中找到更详细的讨论。本书中几乎所有主题，除了行星大气一章，都在该书中有更深入的阐述。

书中内容

本书分为三部分。第一部分，也是最长的部分，为大气和海洋动力学的研究提供了基础。它不假设读者具备流体动力学或热力学的先验知识，尽管已经有这些知识的读者可能可以跳过第1章。

第一部分的其余部分介绍了地球物理流体动力学，这是大气和海洋动力学的核心主题，离开它，这门学科将大部分停留在定性和/或计算层面。我们在这里讨论了旋转和分层的影响，进而引入了浅水理论和准地转方程及行星地转方程。

罗斯贝波 (Rossby Waves)、重力波 (Gravity Waves)、斜压不稳定性 (Baroclinic Instability)，以及波平均流相互作用和湍流的初步处理，构成了第一部分的结尾。

第二部分与第三部分

第二部分和第三部分分别关注大气和海洋的大尺度动力学与环流。这两部分的核心是所谓的一般环流 (General Circulation)，意思是较大尺度上准稳定和时间平均的环流。这种环流依赖于时间相关涡旋的效应——大气的费雷尔环流 (Ferrel Cell) 可以被认为是由不稳定性和罗斯贝波驱动的。

在最后一章中描述的厄尔尼诺现象 (El Niño Phenomenon)，是显式时间相关的。本书的一个特点是专门讨论行星大气的普遍原理，这是母版书中没有的内容。这个主题因对太阳系及更遥远行星的观测而变得越来越重要。

如何使用本书

本书的内容足以支撑两个学期的大气-海洋动力学课程。一个长期学期，第一门地球物理流体动力学课程，可以基于第一部分，根据学生的背景和兴趣跳过早期或后期章节。

另一个长期课程，大气或海洋环流课程，可以基于第二部分或第三部分，并根据需要补充文献综述或研究论文，使用数据集进行实际世界（及其他行星，如果研究第13章）的分析。

致谢

我想感谢Matt Lloyd、Zoë Pruce 和Richard Smith，他们在撰写和出版过程中提供了专家指导。同时感谢我的同事和学生们——他们提供了大量的建议和批评。如果你，作为读者，有任何评论或建议，请随时联系我。

第一部分：地球流体力学

第1章：流体基础

1.1 流体的时间导数

1.1.1 场与物质视角

在固体力学中，我们通常关注可识别物体（如足球或行星）的位置和动量，因为它们在空间中移动。从原则上讲，我们可以以相同的方式处理流体，并尝试跟踪单个流体微团的性质，如它们在流动过程中变热或变冷。这种视角被称为物质视角或拉格朗日视角 (Lagrangian Viewpoint)。

然而，在流体动力学问题中，我们通常更关心固定点在时间推移下的速度、密度等数值。这种视角被称为场视角或欧拉视角 (Eulerian Viewpoint)。

尽管场视角在实际应用中更有用，但物质描述在推导方程和获得见解方面经常提供重要帮助。这是因为从基本观点来看，重要的量往往与给定流体微团相关。这些量直接出现在牛顿运动定律和热力学方程中。

1.1.2 流体性质的物质导数

一个流体微团是一个无限小、不可分割的流体单元——实际上是一个固定质量的非常小的流体包。物质导数 (Material Derivative) 或拉格朗日导数 (Lagrangian Derivative)，是描述一个特性（如温度或动量）在单个流体微团上的变化率。这相当于该特性在单个流体单元上的总时间导数。

假设一个流体由一个给定的速度场 \(\mathbf{v}(x, t)\) 描述，它决定了流体的运动。假设流体还有另一个性质 \(\varphi\)，我们来推导 \(\varphi\) 在时间和空间中变化的表达式。根据链式法则，我们有：

\[ \delta \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial t} \delta t + \frac{\partial \varphi}{\partial x} \delta x + \frac{\partial \varphi}{\partial y} \delta y + \frac{\partial \varphi}{\partial z} \delta z = \frac{\partial \varphi}{\partial t} \delta t + \delta x \cdot \nabla \varphi. \]

这对任何 \(\delta t\)、\(\delta x\) 等都成立。因此，总时间导数为：

\[ \frac{d \varphi}{dt} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \varphi. \]

如果这个方程要表示物质导数，我们必须将右侧第二项中的时间导数识别为流体微团的位置变化率，即其速度。因此，\(\varphi\) 的物质导数为：

\[ \frac{D \varphi}{Dt} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \varphi. \]

右侧表示了物质导数，它包括了局部变化率（\(\partial \varphi / \partial t\)）以及因流体微团的移动而引起的空间变化率（\(\mathbf{v} \cdot \nabla \varphi\)）。

由于物质导数在流体动力学中非常常见，为了与其他导数区分，我们用算子 \(\frac{D}{Dt}\) 来表示。因此，场的物质导数为：

\[ \frac{D \varphi}{Dt} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \varphi. \]

该方程中最后一项的括号有助于提醒我们，\((\mathbf{v} \cdot \nabla)\) 是一个作用于 \(\varphi\) 的算子。算子 \(\partial / \partial t + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\) 是拉格朗日导数在场的欧拉表示。

备注

• 拉格朗日视角得名于法意数学家约瑟夫·拉格朗日 (1736–1813)。
• 欧拉视角得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉 (1707–1783)。

矢量场的物质导数

物质导数可以作用于一个矢量场 \( b \)，在这种情况下，有以下表达式：

\[ \frac{D b}{D t} = \frac{\partial b}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) b. \]

在笛卡尔坐标系中，这个方程可以写成：

\[ \frac{D b}{D t} = \frac{\partial b}{\partial t} + u \frac{\partial b}{\partial x} + v \frac{\partial b}{\partial y} + w \frac{\partial b}{\partial z}. \]

对于矢量场 \( b \) 的特定分量 \( b^x \)，我们有：

\[ \frac{D b^x}{D t} = \frac{\partial b^x}{\partial t} + u \frac{\partial b^x}{\partial x} + v \frac{\partial b^x}{\partial y} + w \frac{\partial b^x}{\partial z}. \]

对于 \( b^y \) 和 \( b^z \) 的分量，也有类似的表达式。在非笛卡尔坐标系中，矢量的对流导数不仅仅是其各个分量的对流导数之和，因为坐标矢量本身的位置变化会引起方向的改变。这一点在我们处理球坐标系时将变得重要。

1.1.3 体积的物质导数 (Material Derivative of a Volume)

当一个具有不变质量的流体单元的体积受到流体运动的变形和平流影响时，没有理由认为其体积应保持不变。相反，体积将随着其边界物质表面上每个元素的移动而发生变化，特别是当流体表面法向速度分量不为零时，体积将发生变化。也就是说，如果某些流体的体积为 \( \int dV \)，那么：

\[ \frac{D}{Dt} \int_V dV = \int_S \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s}, \quad (1.8) \]

其中，下标 \( V \) 表示积分是针对某个有限体积 \( V \) 进行的，积分的限值是时间的函数，因为体积在变化。右侧的积分是针对包围该体积的封闭表面 \( S \) 进行的。虽然这个表达式在直觉上很明显（对某些人来说），但它可以通过莱布尼茨公式（Leibniz's Formula）更正式地推导出来，莱布尼茨公式用于积分限随时间变化的情况。利用散度定理，右侧的积分可转换为：

\[ \frac{D}{Dt} \int_V dV = \int_V \nabla \cdot \mathbf{v} \, dV. \quad (1.9) \]

一个无限小流体单元的体积变化率是通过将上述表达式取体积趋于零的极限而得到的，表示为：

\[ \lim_{\Delta V \to 0} \frac{1}{\Delta V} \frac{D (\Delta V)}{Dt} = \nabla \cdot \mathbf{v}. \quad (1.10) \]

我们经常将这样的表达式非正式地写成：

$$ \frac{D (\Delta V)}{D t} = \Delta V \nabla \cdot \mathbf{v},\quad (1.11 $$

其中极限是隐含的。

现在考虑某种流体特性 ξ（例如单位体积 ξ-物质的量——质量密度或单位体积染料的量）与流体单元体积 ΔV 的乘积的物质导数。这种导数在 ξ 是单位体积 ξ-物质的量时产生。我们有：

$$ \frac{D (\xi \Delta V)}{D t} = \xi \frac{D (\Delta V)}{D t} + \Delta V \frac{D \xi}{D t}.\quad (1.12) $$

使用 (1.11) 式，这个表达式变为：

$$ \frac{D (\xi \Delta V)}{D t} = \Delta V \left( \xi \nabla \cdot \mathbf{v} + \frac{D \xi}{D t} \right).\quad (1.13) $$

对于有限体积，类似的结果可以写为：

$$ \frac{D}{D t} \int_V \xi dV = \int_V \left( \xi \nabla \cdot \mathbf{v} + \frac{D \xi}{D t} \right) dV.\quad (1.14) $$

这个表达式与欧拉导数形成对比，在欧拉导数中，积分的体积是固定的，积分的极限也是固定的。

对于欧拉导数，我们有：

$$ \frac{d}{d t} \int_V \xi dV = \int_V \frac{\partial \xi}{\partial t} dV.\quad (1.15) $$

现在考虑流体性质 φ 的物质导数，该性质由流体单元的质量 ρΔV 加权，其中 ρ 是流体密度。这样一个导数在 φ 是单位质量 φ-物质的量时产生（例如，流体单元的动量是 ρuΔV）。φρΔV 的物质导数为：

$$ \frac{D (\varphi \rho \Delta V)}{D t} = \rho \Delta V \frac{D \varphi}{D t} + \varphi \frac{D (\rho \Delta V)}{D t}.\quad (1.16) $$

但 ρΔV 只是流体单元的质量，这是一个常量——这是如何定义流体单元的。因此，右侧的第二项消失，化简为：

$$ \frac{D (\varphi \rho \Delta V)}{D t} = \rho \Delta V \frac{D \varphi}{D t}.\quad (1.17) $$

对于有限体积，有以下关系：

$$ \frac{D}{D t} \int_V \varphi \rho dV = \int_V \rho \frac{D \varphi}{D t} dV.\quad (1.18) $$

该表达式也可以更正式地使用**莱布尼茨公式**推导出来，对于物质导数的积分形式，结果也适用于当 φ 是一个矢量时。在欧拉导数的情况下，体积保持固定，我们有：

$$ \frac{d}{d t} \int_V \varphi \rho dV = \int_V \frac{\partial (\varphi \rho)}{\partial t} dV.\quad (1.19) $$

在相邻页面的阴影框中，总结了各种物质导数和欧拉导数。

物质导数与欧拉导数 (Material and Eulerian Derivatives)

标量 \( \phi \) 和矢量场 \( \mathbf{b} \) 的物质导数分别为：

\[ \frac{D \phi}{Dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \phi, \quad \frac{D \mathbf{b}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{b}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{b}. \quad (D.1) \]

各种积分形式的物质导数为：

\[ \frac{D}{Dt} \int_V \phi \, dV = \int_V \left(\frac{D \phi}{Dt} + \phi \nabla \cdot \mathbf{v}\right) \, dV = \int_V \left(\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot (\phi \mathbf{v})\right) \, dV, \quad (D.2) \]

\[ \frac{D}{Dt} \int_V dV = \int_V \nabla \cdot \mathbf{v} \, dV, \quad (D.3) \]

\[ \frac{D}{Dt} \int_V \rho \phi \, dV = \int_V \rho \frac{D \phi}{Dt} \, dV. \quad (D.4) \]

这些公式在 \( \phi \) 是一个矢量的情况下同样成立。积分的欧拉导数为：

\[ \frac{d}{dt} \int_V \phi \, dV = \int_V \frac{\partial \phi}{\partial t} \, dV, \quad (D.5) \]

因此：

\[ \frac{d}{dt} \int_V dV = 0, \quad \frac{d}{dt} \int_V \rho \phi \, dV = \int_V \frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} \, dV. \quad (D.6) \]

1.2 质量连续性方程

在经典力学中，质量是绝对守恒的，而在固体力学中，我们通常不需要显式的质量守恒方程。然而，在流体力学中，流体可能会流入或流出某个特定位置，并且流体的密度可能会发生变化，因此我们需要一个方程来描述这种变化。

1.2.1 欧拉推导

我们首先从欧拉视角推导质量守恒方程，也就是说，我们的参考系固定在空间中，流体通过这个参考系流动。考虑一个无限小的、固定在空间中的长方体控制体积，体积为：

\[ \Delta V = \Delta x \Delta y \Delta z \]

如图1.1所示。流体通过其表面流入或流出体积，包括通过在 \(y-z\) 平面上的面，面积为：

\[ \Delta A = \Delta y \Delta z \]

坐标在 \(x\) 和 \(x + \Delta x\) 之间。由于流体在 \(x\) 方向的运动，控制体积内的流体积累量是：

\[ \Delta y \Delta z \left[\rho u(x,y,z) - \rho u(x+\Delta x,y,z)\right] = -\frac{\partial (\rho u)}{\partial x} \Delta x \Delta y \Delta z \]

显然，还必须加上在 \(y\) 和 \(z\) 方向的运动效应，即：

\[ -\left[\frac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z}\right] \Delta x \Delta y \Delta z \]

这种流体的净积累必须伴随着控制体积内流体质量的相应增加。这表示为：

\[ \frac{\partial}{\partial t} (\text{密度} \times \text{体积}) = \Delta x \Delta y \Delta z \frac{\partial \rho}{\partial t} \]

由于体积是常数，因此，由质量守恒，方程 (1.19) 和 (1.21) 给出：

\[ \Delta x \Delta y \Delta z \left[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z}\right] = 0 \]

方括号中的量必须为零，因此我们得到：

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]

这被称为质量连续性方程，因为它认识到流体中质量场的连续性质。在方程 (1.23) 中没有扩散项，也没有像 \(\kappa \nabla^2 \rho\) 这样的项。这是因为质量是由分子宏观运动传输的；即使这种运动看起来像扩散，任何宏观的分子运动本质上构成了一个速度场。

方程 (1.23) 及其推导与笛卡尔几何无关，更一般的向量推导可以使用任意控制体积完成，这留给读者作为练习。

1.2.2 使用物质导数的质量连续性

我们现在从物质视角推导质量连续性方程 (1.23)。这是所有质量守恒方法中最基础的一个，因为质量守恒的原理简单地指出，给定流体元素的质量是守恒的。

考虑一个密度为 \(\rho\)、体积为 \(\Delta V\) 的小质量流体单元。则质量守恒可以表示为：

\[ \frac{D}{Dt} (\rho \Delta V) = 0 \]

密度和体积可能会随时间变化，因此：

\[ \Delta V \frac{D \rho}{Dt} + \frac{D (\Delta V)}{Dt} = \Delta V \left(\frac{D \rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \mathbf{v}\right) = 0 \]

由于体积元不为零，括号内的项必须消失，因此得到：

\[ \frac{D \rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \mathbf{v} = 0 \]

在展开第一项后，这个结果与(1.23)完全相同。(一种稍微更正式的推导方式是使用(1.14)，将ξ替换为ρ。)

总结起来，表示质量守恒的等效偏微分方程为：

$$ \frac{D \rho}{D t} + \rho \nabla \cdot \mathbf{v} = 0, $$

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0. $$

(1.27a, b)

1.2.3 不可压缩流体

液体的一个几乎普遍的特性是它们的密度几乎是常数，即，它们本质上是不可压缩的。如果我们将密度写成：

\[ \rho(x,y,z,t) = \rho_0 + \delta \rho(x,y,z,t) \]

其中 \(\rho_0\) 是常数，则真正不可压缩的流体有 \(\delta \rho = 0\)。在严格意义上没有流体是不可压缩的，因此我们稍微放宽这个含义，只需满足 \(|\delta \rho| \ll \rho_0\)。当满足这一条件时，质量连续性方程 (1.27a) 变为：

\[ \frac{D \delta \rho}{Dt} + (\rho_0 + \delta \rho) \nabla \cdot \mathbf{v} = 0 \]

如果流体是不可压缩的，则涉及 \(\delta \rho\) 的项远小于涉及 \(\rho_0\) 的项，因此可以忽略，得到：

\[ \nabla \cdot \mathbf{v} = 0 \]

这就是不可压缩流体的质量连续性方程，满足这个方程可以被视为不可压缩流体的定义特性。

1.3 动量方程

动量方程是一个偏微分方程，用于描述流体单元响应于内力和外力的速度或动量变化。在本书中，我们将单独处理表示压力和粘性力的项。

1.3.1 平流 (Advection)

设 \( m(x, y, z, t) \) 表示流体的动量密度场（每单位体积的动量）。因此，\( m = \rho v \)，一个体积为 \( V \) 的流体的总动量由体积分 \( \int_V m \, dV \) 给出。现在，对于一个流体，某个可识别流体质量的动量变化率由物质导数给出，根据牛顿第二定律，这等于作用在其上的力。因此：

\[ \frac{D}{Dt} \int_V \rho v \, dV = \int_V F \, dV, \quad (1.31) \]

其中 \( F \) 是单位体积上的力。现在，使用方程 (1.17b)（将 \( \varphi \) 替换为 \( v \)），将(1.31)左侧转换，我们得到：

\[ \int_V \left(\rho \frac{D v}{Dt} - F\right) dV = 0. \quad (1.32) \]

由于体积是任意的，积分项本身必须为零，因此我们得到：

\[ \rho \frac{D v}{Dt} = F \quad \text{或} \quad \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla)v = \frac{F}{\rho}, \quad (1.33a,b) \]

使用方程 (1.5) 展开物质导数，我们得到了一个关于流体在已知力作用下如何加速的表达式。除了外部力（如重力）外，由流体微团之间直接接触产生的应力还会引起压力和黏性力，这些力有时被称为 接触力 (contact forces)。

1.3.2 压力与粘性力

压力

在流体内部或边界处，压力是由分子运动的集体作用在单位面积上产生的法向力。因此：

\[ d\vec{F_p} = -p \, dS, \quad (1.34) \]

其中，\( p \) 是压力，\( \vec{F_p} \) 是压力力，\( dS \) 是一个无限小的表面元。 如果我们接受这个直观概念，那么评估压力对流体的影响就变得简单了。因为流体上的压力力是压力在其边界上的积分，所以我们有：

\[ \vec{F_p} = - \int_S p \, dS. \quad (1.35) \]

粘性

粘性效应在许多情况下是显而易见的，例如糖浆或火山熔岩的流动。单位体积上的粘性力大致等于 \( \mu \nabla^2 \mathbf{v} \)，其中 \( \mu \) 是粘性系数。

结合压力和粘性项，动量方程变为：

\[ \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{F_b}, \quad (1.37) \]

其中，\( \nu = \frac{\mu}{\rho} \) 是运动粘性系数，\( \mathbf{F_b} \) 表示体积力（单位质量的力），例如重力 \( g \)。 在大多数大尺度大气和海洋流动中，粘性项实际上可以忽略不计。

方程 (1.37) 有时被称为纳维-斯托克斯方程。如果忽略粘性项，则该方程变为欧拉方程。有时，这些名称被用来指代完整的运动方程组。

1.3.3 静力近似 (The Hydrostatic Approximation)

在忽略粘性力的情况下，动量方程在垂直方向（与重力平行方向）可以写成：

\[ \frac{Dw}{Dt} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} - g \]

其中，\( w \) 是速度在垂直方向的分量，\( g = -g \mathbf{k} \) 是重力加速度。如果流体处于静止状态，重力项与压力项平衡，得到：

\[ \frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g \]

这个关系称为**静力平衡**（或静水压力平衡）。在这种情况下，某一点的压力由其上方流体的重量确定，假设顶部压力为零：

\[ p = \int_z^\infty \rho g \, dz \]

静水压力平衡是一个很好的近似，尤其适用于大尺度的水平流动。对于大气和海洋，除了强风暴情况下，这种近似几乎总是成立。水平动量方程中的压力项在这种近似下能够提供足够的精度，以确定水平压力梯度。

更多内容将在第3.2节中详细讨论。

表 1.1: 理想气体理论中使用的各种热力学参数

表格中列出了理想气体理论中使用的各种热力学参数，具体数值适用于干燥空气。

符号 (Symbol)	描述 (Description)	数值 (Value)
\( k_B \)	玻尔兹曼常数 (Boltzmann constant)	\( 1.38 \times 10^{-23} \, \mathrm{J \, K^{-1}} \)
\( N_A \)	阿伏伽德罗常数 (Avogadro constant)	\( 6.02214076 \times 10^{23} \, \mathrm{mol^{-1}} \)
\( R^* \)	通用气体常数 (Universal gas constant = \( k_B N_A \))	\( 8.31 \, \mathrm{J \, K^{-1} \, mol^{-1}} \)
\( \mu \)	干燥空气的摩尔质量 (Molar mass of dry air)	\( 29 \times 10^{-3} \, \mathrm{kg \, mol^{-1}} \)
\( R \)	比气体常数 (Specific gas constant = \( R^* / \mu \))	\( 287 \, \mathrm{J \, kg^{-1} \, K^{-1}} \)
\( c_v \)	定容热容 (Specific heat capacity at constant volume)	\( 717 \, \mathrm{J \, kg^{-1} \, K^{-1}} \)
\( c_p \)	定压热容 (Specific heat capacity at constant pressure)	\( 1004 \, \mathrm{J \, kg^{-1} \, K^{-1}} \)
\( c_s \)	声速 (Sound speed at \( T = 273 \, \mathrm{K} \))	\( 331 \, \mathrm{m \, s^{-1}} \)

1.4 状态方程

在三维空间中，动量方程和连续性方程提供了四个方程，但包含五个未知数——速度的三个分量、密度和压力。因此，显然还需要其他方程。状态方程是一个诊断性方程，它将不同的热力学变量相互联系起来。最常见的是状态方程以温度、密度、压力和成分的形式书写，这种方程被称为热力学状态方程，它因流体的不同而有所不同。在本书中，我们将主要讨论与理想气体（如大气）或海水（如海洋）有关的方程。海水的成分会随着水蒸气含量而略有变化，海水的成分也会随着盐度而略有变化。

1.4.1 理想气体

对于恒定成分的理想气体，状态方程通常写成：

$$ pV = Nk_B T = nR^* T, \quad (1.40) $$

其中，\( k_B \) 是玻尔兹曼常数，\( N \) 是体积 \( V \) 中的分子总数，\( R^* \) 是普适气体常数，\( n \) 是体积内的摩尔数，其中一摩尔是包含阿伏伽德罗常数个基本单元的物质量。方程右侧的两个表达式是等价的，因为 \( N = n N_A \) 且 \( R^* = k_B N_A \)，其中 \( N_A \) 是阿伏伽德罗常数（见表 1.1 及边注）。

对于流体动力学目的，我们将方程 (1.40) 除以总质量 \( M = n \mu \)，其中 \( \mu \) 是摩尔质量（每摩尔的质量，通常也称为气体的分子量），得到：

$$ p = \rho R T. \quad (1.41) $$

其中 \( R = R^* / \mu \) 是比气体常数，它随物质而变化。对于干空气，\( R = 287 \, \text{J} \, \text{kg}^{-1} \, \text{K}^{-1} \)。空气的成分几乎保持恒定，除非水蒸气含量发生变化；这些变化使得 \( R \) 成为水蒸气含量的弱函数，但在流体动力学中我们将 \( R \) 视为常数。最后，在流体动力学中，通常使用密度的倒数来表示特定体积，即 \( \alpha = 1 / \rho \)，因此状态方程可以写成：

$$ p \alpha = R T. $$

1.4.2 海水

水几乎是不可压缩的：其密度随温度、盐度或压力的变化非常小。然而，这些微小的变化在海洋学中非常重要，因为它们使海洋能够在大洋环流和深海洋流中传输大量的热量。没有一个简单的状态方程可以精确描述海水，但在许多情况下，我们可以将其近似为：

$$ \rho = \rho_0 [1 - \beta_T (T - T_0) + \beta_S (S - S_0) + \beta_p (P - P_0)], \quad (1.42) $$

其中，\( \beta_T \)、\( \beta_S \) 和 \( \beta_p \) 是经验参数，\( S_0 \)、\( T_0 \) 和 \( P_0 \) 是常数，通常我们取 \( P_0 = 0 \)。（对于定量海洋学，仍需要更精确的方程。）这些参数的典型值在表 1.2 中给出。参数 \( \beta_p \) 与声速 \( c_s \) 有关，\( c_s \) 由 \( c_s^2 = (\partial p / \partial \rho) \) 给出。利用此结果和方程 (1.42) 可得一个很好的近似值，\( \beta_p = 1 / \rho_0 c_s^2 \)，且 \( c_s = 1500 \, \text{m} \, \text{s}^{-1} \)。在 (1.42) 中，没有一个项会导致海洋密度的较大变化。

不幸的是（或者说幸运的是），状态方程将另一个未知数（温度）引入到我们的方程组中。因此，我们必须引入另一个物理原理——来自热力学的原理——以获得完整的方程组，如我们将在接下来探讨的那样。

表 1.2：适用于海水的热力学和状态方程参数

符号	描述	数值
\( \rho_0 \)	参考密度	\( 1.027 \times 10^3 \, \text{kg} \, \text{m}^{-3} \)
\( \alpha_0 \)	参考比体积	\( 9.738 \times 10^{-4} \, \text{m}^3 \, \text{kg}^{-1} \)
\( T_0 \)	参考温度	\( 283 \, \text{K} \)
\( S_0 \)	参考盐度	\( 35 \, \text{ppt} \)
\( c_s \)	参考声速	\( 1490 \, \text{m/s} \)
\( \beta_T \)	热膨胀系数	\( 1.67 \times 10^{-4} \, \text{K}^{-1} \)
\( \beta_S \)	盐度收缩系数	\( 0.78 \times 10^{-3} \, \text{ppt}^{-1} \)
\( c_p \)	定压比热容	\( 3986 \, \text{J} \, \text{kg}^{-1} \, \text{K}^{-1} \)

1.5 热力学 (Thermodynamics)

1.5.1 一些基本原理 (A Few Fundamentals)

热力学第一定律指出，物体的内能 I 可能因为其所做或外界对其所做的功、热量的输入，或者其化学成分的变化而发生改变。我们将忽略最后一种效应，因此有：

\[ dI = dQ + dW, \quad (1.43) \]

其中 \( dW \) 是对物体所做的功，\( dQ \) 是输入物体的热量，我们将所有这些量视为每单位质量的量。(例如，当物体被压缩时会产生热量)。热量传导会导致功的发生（以 \( d \) 表示的不完全微分量）。右侧的量不是状态变量，而是微小量。\( Q \) 和 \( W \) 不能被看作是“热量”和“功”的总和，因为它们不是状态函数，而是能量的通量或输入率。

然而，热量输入和所做的功可以与状态变量联系起来，如下所示：

热量输入 (Heat Input)

尽管热量本身不是状态函数，但存在一个直接响应热传递的状态函数，即熵 (entropy)。具体来说，在一个准静态或可逆过程中，如果向系统输入一微小量的热量 \( dQ \)，则单位质量的熵 \( \eta \) 将根据以下公式变化：

\[ T d\eta = dQ. \quad (1.44) \]

换句话说，熵的变化等于热量输入与温度之比。

功的作用 (Work Done)

在可逆过程中，对物体所做的功等于压力与体积变化的乘积。如果功是正的，则体积变化是负的。因此，如果对物体施加一个微小的功 \( dW \)，其热力学状态将根据以下公式变化：

\[ -p d\alpha = dW, \quad (1.45) \]

其中 \( \alpha = \frac{1}{\rho} \) 是流体的比体积，\( p \) 是压力。

将公式 (1.43)–(1.45) 结合起来，我们得到：

\[ dI = T d\eta - p d\alpha. \quad (1.46) \]

这个表达式被称为 基本热力学关系，下面我们将看看它如何应用于流体。

1.5.2 流体的热力学方程 (Thermodynamic Equation for a Fluid)

假设流体的加热来自外部因素，例如来自太阳的辐射，并且密度和内能的变化是这种加热的结果。那么可以写成：

\[ dI + p d\alpha = dQ. \quad (1.47) \]

这个方程适用于特定的流体单元，而不是特定位置。内能和体积的变化率由物质导数给出：

\[ \frac{DI}{Dt} - \frac{p}{\rho^2} \frac{D\rho}{Dt} = \dot{Q}. \quad (1.48) \]

其中 \( \dot{Q} \) 是单位时间的热量输入率。利用质量守恒方程，我们可以将密度的时间导数重新写成：

\[ \frac{DI}{Dt} + \frac{p}{\rho} \nabla \cdot v = \dot{Q}. \quad (1.49) \]

这是流体的 热力学方程，它告诉我们内能如何响应加热。

理想气体 (An Ideal Gas)

在理想气体中，内能仅是温度的函数，表达式为：

\[ I = c_v T, \quad (1.50) \]

其中 \( c_v \) 是恒定体积下的热容。对于地球大气中的气体，\( c_v \) 近似为常数。因此，方程 (1.49) 变为：

\[ c_v \frac{DT}{Dt} + \frac{p}{\rho} \nabla \cdot v = \dot{Q}. \quad (1.51) \]

方程 (1.51) 可能是大气科学中最常用的热力学方程形式。

我们可以将方程 (1.47) 重写为：

\[ dI + d(\alpha p) - \alpha dp = dQ \quad \text{或} \quad d(c_v T) + d(RT) - \alpha dp = dQ, \quad (1.52a,b) \]

第二个表达式适用于理想气体。我们令 \( c_p = c_v + R \)，则方程 (1.52b) 对于恒定的 \( c_p \) 变为：

\[ c_p dT - \alpha dp = dQ \quad \Rightarrow \quad c_p \frac{DT}{Dt} - \alpha \frac{Dp}{Dt} = \dot{Q}, \quad (1.53a,b) \]

从 (1.53a) 可以看出，\( c_p \) 就是恒定压力下的热容。方程 (1.53b) 等价于 (1.51)，尽管可能没有那么广泛地使用。

流体的完整运动方程将在下一页中总结。

在理想气体中，\( c_p \)、\( c_v \) 和 \( R \) 仅是温度的函数，它们之间的关系为：

\[ c_p - c_v = R. \]

在地球大气中，这些参数实际上几乎是常数。

1.6 势温与熵 (Potential Temperature and Entropy)

当流体被加热时，其熵增加，遵循以下关系：

\[ T d\eta = dQ \quad \text{如式} (1.44). \]

对其进行物质导数，得到：

\[ T \frac{D \eta}{D t} = \dot{Q}. \quad (1.54) \]

流体的运动方程 (The Equations of Motion for a Fluid)

动量方程 (The Momentum Equation)

动量方程是关于速度的演化方程，体现了牛顿第二定律，即力等于质量乘以加速度。其表达式为：

\[ \frac{D \mathbf{v}}{D t} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} + \mathbf{g}, \quad (F.1) \]

其中，\( \mathbf{g} \) 是单位质量的重力。

质量连续性方程 (The Mass Continuity Equation)

质量连续性方程体现了质量守恒原理。两种等效形式为：

\[ \frac{D \rho}{D t} + \rho \nabla \cdot \mathbf{v} = 0, \quad \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0. \quad (F.2) \]

如果流体是不可压缩的，上述方程变为：

\[ \nabla \cdot \mathbf{v} = 0. \quad (F.3) \]

热力学方程 (The Thermodynamic Equation)

热力学方程是热力学第一定律的陈述，表达为：

\[ \frac{D I}{D t} + \frac{p}{\rho} \nabla \cdot \mathbf{v} = \dot{Q}. \quad (F.4) \]

其中，\( \dot{Q} \) 是总加热量。对于理想气体，\( I = c_v T \) 且 \( p = \rho R T \)，方程变为：

\[ \frac{D T}{D t} + \frac{R T}{c_v} \nabla \cdot \mathbf{v} = \frac{\dot{Q}}{c_v} = \kappa \nabla^2 T + J. \quad (F.5) \]

在这里，我们将加热分为温度扩散和外部热源 \( J \)。

状态方程 (Equation of State)

状态方程是一个诊断方程，连接压力、密度、温度，以及（如果流体成分变化）组成。对于单组分理想气体，状态方程为：

\[ p = \rho R T. \quad (F.6) \]

对于海水，一个密度关于压力、温度和盐度的近似状态方程为：

\[ \rho = \rho_0 \left[1 - \beta_T (T - T_0) + \beta_S (S - S_0) + \beta_p (p - p_0) \right]. \quad (F.7) \]

对于定量海洋学，我们需要更精确的状态方程，并包含非线性项。

这是热力学方程的另一种形式，可以代替内部能量方程 (1.49)，但这样做涉及使用状态方程将熵与其他热力学变量联系起来，其形式为：

\[ \eta = \eta(T, p), \]

或者，一般来说，作为压力、密度和温度的任意两个变量的函数。（熵也是组成的函数，但我们将其视为常数。）对于理想气体，我们可以得到这样的表达式，如下所示：

使用理想气体的状态方程，我们可以将热力学第一定律写成两种等效的形式：

\[ c_v dT + p d\alpha = dQ, \quad c_p dT - \alpha dp = dQ. \quad (1.56a,b) \]

然后，由于熵的增加遵循 \( T d\eta = dQ \)，我们有：

\[ c_v dT + p d\alpha = T d\eta, \quad c_p dT - \alpha dp = T d\eta. \quad (1.57a,b) \]

这些是应用于理想气体的基本热力学关系的两种形式。使用状态方程 \( \alpha = \frac{RT}{p} \)，上述方程可以写成：

\[ \frac{dT}{T} - \frac{R}{c_v} \frac{dp}{p} = d\eta, \quad \frac{c_p}{T} dT - \frac{R}{p} dp = d\eta. \quad (1.58a,b) \]

我们可以对(1.58)进行积分，得到理想气体熵的两个等效显式表达式：

\[ \eta = c_v \log T - R \log p + \text{常数}, \quad \eta = c_p \log T - R \log p + \text{常数}. \quad (1.59) \]

与经典力学一样，熵包含一个任意常数。为了方便，我们现在定义一个量，\( \theta \)，称为势温(Potential Temperature)，使得：

\[ \eta = c_p \ln \theta. \quad (1.60) \]

因此：

\[ d\eta = c_p \left(\frac{d\theta}{\theta}\right). \]

将此表达式代入(1.57b)并积分，得到：

\[ c_p \log T - R \log p = c_p \log \theta + \text{常数}. \quad (1.61) \]

如果我们将积分常数折叠到压力项中，这个方程可以写成：

\[ \theta = T \left(\frac{P_R}{p}\right)^{R/c_p}. \quad (1.62) \]

其中 \( P_R \) 是一个常数。根据(1.60)，我们可以将(1.54)写成：

\[ c_p \frac{D \theta}{D t} = \frac{\theta}{T} \dot{Q}. \quad (1.63) \]

这种形式的热力学方程等价于(1.51)，在某些方面更简单。然而，它仅对理想气体有效——对于海水来说，由于真实海水状态方程的非线性特性，以及海水的 \( c_p \) 不是常数，获得类似的表达式更为困难。

注意：熵直接响应热量输入，但它并不是物体热含量的度量，也没有这样的度量存在。熵的增加取决于热量加入时的温度。同样，物体也不包含一定量的功。功和加热都会改变物体的内能。

1.6.1 势温的含义 (Meaning of Potential Temperature)

我们引入了势温，作为流体熵的度量，这是它最恰当的解释方式。然而，它还有一个有用的物理解释，如下所述。假设一个恒定组成的流体包裹在绝热条件下从一个位置移动到另一个位置，或者在不同的压力下移动。绝热意味着没有热量进出该流体包裹，因此：

\[ \dot{Q} = 0. \]

在可逆过程中（例如无耗散流动），熵和势温将被守恒。然而，由于流体包裹可能被压缩或膨胀，其温度将会改变，如方程 (1.56) 所示。

考虑一个初始压力为 \( P_1 \) 的流体包裹，温度为 \( T_1 \)，势温为 \( \theta_1 \)。现在将该包裹绝热地移动到压力 \( P_R \) 处。包裹的温度将改变，但其最终的势温保持不变：

\[ T_2 = \theta_1 \quad \text{当} \, P = P_R. \]

因此，流体包裹的最终温度等于其初始势温。我们可以说：

流体包裹的势温是当它在绝热条件下移动到标准压力 \( P_R \) 时所获得的温度。

这个定义在大气科学中被广泛应用。虽然势温可以任意选择，但在大多数大气应用中，通常选择：

\[ P_R = 1000 \, \text{hPa}. \]

因此，势温是流体在绝热条件下被带到海平面时所达到的温度。由于流体在下降过程中被压缩，其内能增加，从而导致温度升高。

1.6.2 势密度 (Potential Density)

类似于势温，势密度\( \rho_\theta \) 是流体包裹在绝热和恒定组成条件下移动到参考压力 \( P_R \) 时所具有的密度。

势密度是一个有用的量，因为它衡量了流体包裹相对于对流的稳定性，无论在空气中还是水中。

理想气体 (Ideal Gas)

假设一个温度为 \( T \) 且压力为 \( p \) 的流体被移动到压力 \( P_R \)，此时温度变为势温 \( \theta \)。对于理想气体，势密度在压力 \( p \) 下的密度等于其在 \( P_R \) 下的密度：

\[ \rho_\theta = \frac{P_R}{R \theta} = \frac{P_R}{R T} \left(\frac{P}{P_R}\right)^{R/c_p} = \rho \left(\frac{P}{P_R}\right)^{R/c_p}. \quad (1.64) \]

海水 (Seawater)

对于海水，没有与理想气体类似的确切势密度表达式。然而，我们可以通过以下近似方法获得一个合理的表达式：

首先，假设密度在参考水平附近几乎是常数，然后对密度进行泰勒展开。对于一阶近似，有：

\[ \rho(p) = \rho(P_R) + (p - P_R) \frac{\partial \rho}{\partial p}. \quad (1.65) \]

右侧第一项是势密度，第二项的导数是声速平方的倒数。因此可以写成：

\[ \rho_\theta = \rho - \frac{1}{c^2} (p - P_R). \quad (1.66) \]

由于声速是一个可测量的量，方程 (1.66) 是一个非常有用的势密度表达式。然而，由于声速的微小变化，该表达式在涉及较大深度变化的问题中可能不够准确。

1.7 能量收支 (The Energy Budget)

流体的总能量包括动能、势能和内能。流体的流动和压力力都会将能量从一个位置传输到另一个位置，但我们仍然期望总能量是守恒的。

让我们看看能量守恒在流体中是如何体现的。

1.7.1 能量方程 (An Energy Equation)

我们从一个时间不变势能 \( \Phi \) 的无粘动量方程开始：

$$ \rho \frac{D \mathbf{v}}{D t} = -\nabla p - \rho \nabla \Phi. \quad (1.67) $$

在均匀重力场中，\( \Phi = gz \)。对方程 (1.67) 两边取点积 \( \mathbf{v} \)，得到动能方程：

$$ \frac{1}{2} \rho \frac{D \mathbf{v}^2}{D t} = -\mathbf{v} \cdot \nabla p - \rho \mathbf{v} \cdot \nabla \Phi. \quad (1.68) $$

对于绝热流动，内能方程为：

$$ \rho \frac{D I}{D t} = -p \nabla \cdot \mathbf{v}. \quad (1.69) $$

最后，势能满足：

$$ \rho \frac{D \Phi}{D t} = \rho \mathbf{v} \cdot \nabla \Phi. \quad (1.70) $$

将方程 (1.68)、(1.69) 和 (1.70) 相加，我们得到：

$$ \rho \frac{D}{D t} \left(\frac{1}{2} v^2 + I + \Phi \right) = -\nabla \cdot (\mathbf{v} p). \quad (1.71) $$

对材料导数进行展开，并使用质量守恒方程，可以得到：

$$ \frac{\partial}{\partial t} \left[\rho \left(\frac{1}{2} v^2 + I + \Phi \right)\right] + \nabla \cdot \left[\rho \mathbf{v} \left(\frac{1}{2} v^2 + I + \Phi + \frac{p}{\rho}\right)\right] = 0. \quad (1.72) $$

可以将其简写为：

$$ \frac{\partial E}{\partial t} + \nabla \cdot \left[\mathbf{v} (E + p)\right] = 0. \quad (1.73) $$

其中：

$$ E = \rho \left(\frac{1}{2} v^2 + I + \Phi \right) $$

是单位体积流体的**总能量**，包括：

• 动能 (\( \rho v^2 / 2 \))
• 内能 (\( \rho I \))
• 势能 (\( \rho \Phi \))

方程 (1.73) 是一个针对**无外力、无粘性和绝热**可压缩流体的能量方程。当对封闭区域进行积分时，能量通量项消失，意味着**总能量守恒**。

然而，动能、内能和势能之间可以进行能量交换。这种交换通过**散度项** \( \nabla \cdot \mathbf{v} \) 连接动能方程 (1.68) 和内能方程 (1.69)。

对于不可压缩流体，这个项消失，内能与其他能量成分解耦。这一点在第2.5节的**布辛涅斯克方程**中将变得重要。

能量通过速度项传输，能量通量 \( F_E = \mathbf{v}(E + p) \) 并不等于速度与能量之积。能量还通过**压力**进行传输。

我们可以将能量通量写为：

$$ F_E = \rho \mathbf{v} \left(\frac{1}{2} v^2 + \Phi + h \right). \quad (1.74) $$

其中：

$$ h = I + \frac{p}{\rho} $$

是焓 (Enthalpy)。

焓描述的是由动能、势能和焓通量决定的局部能量变化率，而不是内能，因为焓考虑了**压力所做的功**。

伯努利定理 (Bernoulli's Theorem)

伯努利方程定义为：

$$ B = \left(E + \frac{p}{\rho}\right) = \left(\frac{1}{2} v^2 + I + \Phi + \frac{p}{\rho}\right) = \left(\frac{1}{2} v^2 + h + \Phi \right). \quad (1.75) $$

在稳态流动中，伯努利函数在流线上保持不变：

$$ \frac{\partial E}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} B) = 0. \quad (1.76) $$

伯努利函数表示为总能量与压强之和。在稳态流动中，它在流线上是常数。

这表明在理想条件下，动能、势能、内能和压力相互联系，并且能量在流体的不同部分之间进行交换。

如果流体的密度是恒定的，推导过程与之前相同，但有一个重要的简化。速度的散度项为零，因此在动能方程的右侧 (1.68) 中，\( \nabla \cdot \mathbf{v} \) 项不会出现。

内能方程的右侧 (1.69) 变为零，内能与动能之间解耦。动能方程变为：

$$ \frac{\partial K}{\partial t} + \nabla \cdot (\mathbf{v} (B)) = 0. \quad (1.78) $$

其中：

\( K = \frac{v^2}{2} \) 是动能，\( B = \Phi + \Phi + \frac{v^2}{2} \) 其中 \( \Phi = \frac{p}{\rho_0} \) 是**动力压强**。

伯努利函数不包含内能，而**总动能**是守恒的。

1.7.3 粘性效应 (Viscous Effects)

我们可以预期，粘性总是会减少流体流动的动能。在这里，我们针对恒定密度流体进行了证明，该流体满足以下方程：

\[ \frac{D \mathbf{v}}{D t} = -\nabla (\phi + \Phi) + \nu \nabla^2 \mathbf{v}. \quad (1.79) \]

能量方程变为：

\[ \frac{d \bar{E}}{d t} = \frac{d}{d t} \int_V E \, dV = \mu \int_V \mathbf{v} \cdot \nabla^2 \mathbf{v} \, dV. \quad (1.80) \]

右侧是负定的。为了证明这一点，我们使用向量恒等式：

\[ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{v}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{v}) - \nabla^2 \mathbf{v}, \quad (1.81) \]

由于 \(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\)，我们有：

\[ \nabla^2 \mathbf{v} = -\nabla \times \mathbf{\omega}, \quad \text{其中} \, \mathbf{\omega} \equiv \nabla \times \mathbf{v}. \]

因此：

\[ \frac{d \bar{E}}{d t} = -\mu \int_V \mathbf{v} \cdot (\nabla \times \mathbf{\omega}) \, dV = -\mu \int_V \mathbf{\omega} \cdot (\nabla \times \mathbf{v}) \, dV = -\mu \int_V \mathbf{\omega}^2 \, dV. \quad (1.82) \]

在进行分部积分后，假设边界上 \(\mathbf{v} \times \mathbf{\omega}\) 为零。因此，粘性通过提取流体流动的动能来起作用。动能的损失以不可逆的流体加热形式重新出现，而流体的总能量仍然是守恒的。

在地球大气中，这种加热效应很小，但在其他行星上可能会很大。

问题（Problems）

1.1

证明积分的导数可以表示为：

\[ \frac{d}{dt} \int_{x_1(t)}^{x_2(t)} \phi(x,t) dx = \int_{x_1(t)}^{x_2(t)} \frac{\partial \phi}{\partial t} dx + \frac{dx_2}{dt} \phi(x_2, t) - \frac{dx_1}{dt} \phi(x_1, t). \]

通过推广到三维空间，证明流体性质积分的物质导数表示为：

\[ \frac{D}{Dt} \int_V \phi(x,t) dV = \int_V \frac{\partial \phi}{\partial t} dV + \int_S \phi \mathbf{v} \cdot dS = \int_V \left( \frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot (\phi \mathbf{v}) \right) dV, \]

其中表面积分 \(\int_S\) 是针对体积 \(V\) 的边界表面进行的。 因此推出：

\[ \frac{D}{Dt} \int_V \rho \phi dV = \int_V \rho \frac{D\phi}{Dt} dV. \]

1.2

1. 如果分子近似随机运动，为什么质量连续性方程中没有扩散项？

2. 假设一个流体包含干燥空气和水蒸气的二元混合物。证明由于水蒸气扩散引起的空气质量变化，正好被干燥空气向相反方向的扩散所抵消。

1.3

如果响应施加力的是动量而不是速度，为什么根据牛顿第二定律，动量方程是：

\[ \rho \frac{D\mathbf{u}}{Dt} = -\nabla p \]

而不是：

\[ \frac{D(\rho \mathbf{u})}{Dt} = -\nabla p？ \]

1.4

使用水中热的分子扩散的观测值，估算从海洋顶部到底部通过分子扩散混合温度异常需要多长时间。假设分子扩散是唯一的热传递方式。评论在上一个冰河时代结束（约12,000年前）后，真实的海洋是否已达到平衡状态。

1.5

证明粘性会在可压缩流体中耗散动能。

1.6

1. 假设一个密封的绝热容器包含两个隔室，其中一个充满理想气体，另一个是真空。隔板被移除后，气体的温度如何变化？（答案：保持不变）。请解释。

2. 给出最终势温的表达式，用初始气体温度和两个隔室的体积表示。

一个干燥气块在大气中绝热上升时，由于向较低压强区域移动并膨胀，它通常会冷却下来，而其势温保持不变。如何与你在(a)部分的答案保持一致？

将你的答案与理想气体的热力学第一定律联系起来，即：

\[ dQ = T d\eta = c_p \frac{d\theta}{\theta} = dI + dW = c_v dT + p d\alpha. \]

(P1.4)

1.7

从简单理想气体的势温表达式开始，即 \(\theta = T (P_R / p)^\kappa\)，其中 \(\kappa = R / c_p\)，证明：

\[ d\theta = \left(\frac{\theta}{T}\right)dT - \left(\frac{\alpha}{c_p}\right)dp, \]

并证明热力学第一定律可以写成：

\[ dQ = T d\eta = c_p \left(\frac{T}{\theta}\right)d\theta. \]

(P1.5, P1.6)

1.8

证明在理想气体的绝热流动中，满足关系：

\[ p p^{-\gamma} = \text{常数}, \]

其中 \(\gamma = c_p / c_v\)。

1.9

证明对于静力平衡下的理想气体，干静能（\(M = c_p T + gz\)）的变化与势温（\(\theta\)）的变化之间存在如下关系：

\[ \delta M = c_p \left(\frac{T}{\theta}\right) \delta \theta. \]

（其中 \(c_p T / \theta\) 被称为“埃克斯纳函数”）。

1.10

使用文本中给出的海水状态方程，或文献中获得的更精确的状态方程，估算由于压强、盐度和温度变化引起的全球海洋密度的分数变化。

1.11

使用从文献中获得的准确的状态方程（例如，来自 Vallis (2017) 或 IOC 等 (2010)），估算全球海洋密度误差（如(1.42)）的大小。

第2章：旋转行星方程

2.1 旋转参考系中的运动方程

牛顿第二定律指出，物体动量变化的速率与所施加的力成正比，这一定律适用于所谓的惯性参考系，这些参考系要么是静止的，要么仅以相对于遥远星系的恒定直线速度运动。

现在，地球每天绕其轴自转一次，因此地球表面并不是一个惯性参考系。然而，相对于地球表面来描述大气或海洋的运动比在某个惯性参考系中描述要方便得多。本节的主题就是讨论我们如何做到这一点。

2.1.1 向量的变化率

首先，考虑一个相对于惯性参考系以恒定角速度 Ω 旋转的恒定长度向量 C。在以相同角速度旋转的参考系中，它看起来是静止且恒定的。

如果在一个小时间间隔 δt 内，向量 C 绕一个小角度 δλ 旋转，那么在惯性参考系中感知到的 C 的变化由下式给出（见图2.1）：

$$ \delta C = |C| \cos \vartheta \delta \lambda \mathbf{m}, \quad (2.1) $$

其中，向量 m 是指向 C 变化方向的单位向量，该方向垂直于 C 和 Ω。

但是，角度 λ 的变化率由角速度定义，因此：

$$ \delta \lambda = |\Omega| \delta t, $$

并且有：

$$ \delta C = |C||\Omega| \sin \vartheta \mathbf{m} \delta t = \Omega \times C \delta t. \quad (2.2) $$

其中，ϑ = (π/2 − ϑ) 是 Ω 和 C 之间的角度。因此，有：

$$ \left(\frac{d \mathbf{C}}{d t}\right)_I = \mathbf{\Omega} \times \mathbf{C}, \quad (2.3) $$

这里，左侧表示在惯性参考系中观察到的向量 C 的变化率。

现在，考虑一个在惯性参考系中变化的向量 B。在一个小时间间隔 δt 内，旋转参考系中观察到的 B 的变化与惯性参考系中的变化相关，关系如下：

$$ (\delta \mathbf{B})_I = (\delta \mathbf{B})_R + (\delta \mathbf{B})_{rot}, \quad (2.4) $$

其中，这些项分别表示：

• (\(\delta \mathbf{B})_I\)：在惯性参考系中观察到的变化。
• (\(\delta \mathbf{B})_R\)：在旋转参考系中测量到的向量本身的变化。
• (\(\delta \mathbf{B})_{rot}\)：由旋转引起的变化。

根据公式 (2.2)，我们有：

$$ (\delta \mathbf{B})_{rot} = \mathbf{\Omega} \times \mathbf{B} \delta t, $$

因此，向量 B 在惯性参考系和旋转参考系中的变化率之间的关系为：

$$ \left(\frac{d \mathbf{B}}{d t}\right)_I = \left(\frac{d \mathbf{B}}{d t}\right)_R + \mathbf{\Omega} \times \mathbf{B}. \quad (2.5) $$

这个关系适用于向量 B，在任何时间点测量时，它在惯性参考系和旋转参考系中是相同的。

2.1.2 旋转参考系中的速度和加速度

物体在惯性系和旋转系中的速度测量结果并不相同，因此在将(2.5)应用于速度时必须格外小心。首先将(2.5)应用于粒子的位置 r，可得到：

\[ \left(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)_I = \left(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)_R + \mathbf{\Omega} \times \mathbf{r} \]

或者：

\[ \mathbf{v}_I = \mathbf{v}_R + \mathbf{\Omega} \times \mathbf{r} \]

我们将 v_R 和 v_I 分别称为相对速度和惯性速度，公式(2.7)将两者联系起来。再次将(2.5)应用于速度 v_R，可得：

\[ \left(\frac{d\mathbf{v}_R}{dt}\right)_I = \left(\frac{d\mathbf{v}_R}{dt}\right)_R + \mathbf{\Omega} \times \mathbf{v}_R \]

或者，使用(2.7)：

\[ \left(\frac{d}{dt}(\mathbf{v}_I - \mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})\right)_I = \left(\frac{d\mathbf{v}_R}{dt}\right)_R + \mathbf{\Omega} \times \mathbf{v}_R \]

或：

\[ \left(\frac{d\mathbf{v}_I}{dt}\right)_I = \left(\frac{d\mathbf{v}_R}{dt}\right)_R + \mathbf{\Omega} \times \mathbf{v}_R + \frac{d\mathbf{\Omega}}{dt} \times \mathbf{r} + \mathbf{\Omega} \times \left(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)_I \]

然后，注意到：

\[ \left(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)_I = \left(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)_R + \mathbf{\Omega} \times \mathbf{r} = (\mathbf{v}_R + \mathbf{\Omega} \times \mathbf{r}) \]

并假设旋转速率是恒定的，(2.10)变为：

\[ \left(\frac{d\mathbf{v}_R}{dt}\right)_R = \left(\frac{d\mathbf{v}_I}{dt}\right)_I - 2\mathbf{\Omega} \times \mathbf{v}_R - \mathbf{\Omega} \times (\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r}) \]

解释

该方程可以解释如下：左侧项是在旋转参考系中测量的相对速度的变化率。右侧第一项是惯性系中测得的惯性速度的变化率（惯性加速度，根据牛顿第二定律，等于流体单元所受的力除以其质量）。右侧第二和第三项（包括负号）分别是科里奥利力和离心力（单位质量）。这两者通常不被视为真正的力——它们可以看作是准力（即“仿佛”的力）；也就是说，当从旋转参考系观察物体时，它表现得好像有某些看不见的力在影响其运动。

离心力

如果 r⊥ 是到旋转轴的垂直距离（参见图2.1，并将 r 替换为 r⊥），因为 Ω 垂直于 r⊥，有：

\[ \mathbf{\Omega} \times \mathbf{r} = \mathbf{\Omega} \times \mathbf{r⊥} \]

然后，使用向量恒等式：

\[ \mathbf{\Omega} \times (\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r}) = (\mathbf{\Omega} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{\Omega} - (\mathbf{\Omega} \cdot \mathbf{\Omega}) \mathbf{r} \]

注意到第一项为零，可以得出单位质量的离心力为：

\[ \mathbf{F}_{ce} = -\mathbf{\Omega} \times (\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r}) = \mathbf{\Omega}^2 r⊥ \]

这个公式可以写成标量势的梯度：

\[ \mathbf{F}_{ce} = -\nabla \Phi_{ce} \]

其中：

\[ \Phi_{ce} = -\frac{(\mathbf{\Omega}^2 r⊥^2)}{2} = -\frac{(\mathbf{\Omega} r⊥)^2}{2} \]

科里奥利力

科里奥利力的单位质量形式为：

\[ \mathbf{F}_{co} = -2\mathbf{\Omega} \times \mathbf{v}_R \]

我们将广泛讨论科里奥利力的影响，但现在仅需注意三个基本性质：

1. 在旋转参考系中静止的物体不会受到科里奥利力的作用。
2. 科里奥利力会使运动物体的轨迹发生偏转，其方向与物体的运动方向成直角。
3. 科里奥利力对物体不做功，因为它与速度成垂直方向。因此： \[ \mathbf{v}_R \cdot (\mathbf{\Omega} \times \mathbf{v}_R) = 0 \]

2.1.3 旋转参考系中的运动方程

动量方程

由于(2.12)简单地关联了惯性系和旋转系中粒子的加速度，那么在旋转参考系中，三维动量方程可写为：

\[ \frac{D\mathbf{v}}{Dt} + 2\mathbf{\Omega} \times \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p - \nabla \Phi_{ce} + \mathbf{g} \]

所有的速度和加速度均相对于惯性系进行测量。由于离心项不会随着流体的运动而变化，我们可以将其纳入重力项 g 中，从而得到一个随地球表面位置略有变化的“有效重力”。

质量连续性方程与热力学方程

质量守恒方程和热力学方程在旋转参考系中不会发生改变。为了证明这一点，请考虑某个变量 φ（例如温度或密度）的物质导数。物质导数只是某个可识别的流体单元中 φ 的变化率，这显然不依赖于参考系。因此，可以写成：

\[ \left(\frac{D\varphi}{Dt}\right)_R = \left(\frac{D\varphi}{Dt}\right)_I \]

其中，物质导数可表示为：

\[ \left(\frac{D\varphi}{Dt}\right)_R = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)_R + \mathbf{v}_R \cdot \nabla \varphi \]

\[ \left(\frac{D\varphi}{Dt}\right)_I = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)_I + \mathbf{v}_I \cdot \nabla \varphi \]

这两个参考系中的各个项有所不同：在旋转系中为 \(\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)_R\)，而在惯性系中为 \(\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)_I\)，但物质导数是相等的。

此外，散度算子在惯性系和旋转系中是相同的。根据(2.7)，我们有：

\[ \nabla \cdot \mathbf{v}_I = \nabla \cdot (\mathbf{v}_R + \mathbf{\Omega} \times \mathbf{r}) = \nabla \cdot \mathbf{v}_R \]

因为：

\[ \nabla \cdot (\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r}) = 0 \]

因此，结合(2.17)和(2.18)，质量守恒方程(1.27b)可写为：

\[ \frac{D\rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \mathbf{v}_R = 0 \]

历史背景

科里奥利力以加斯帕尔-古斯塔夫·德·科里奥利（Gaspard-Gustave de Coriolis，1792-1843）的名字命名，他在1835年首次在工程背景下讨论了这一效应，尽管这一基本效应最早由莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）在数学中识别出来。拉普拉斯（Laplace）在1776年的潮汐方程中也包含了这一项，后于1832年以英文出版。威廉·费雷尔（William Ferrel，1817-1891）或许是第一个认识到科里奥利力对地球环流影响的人，并在拉普拉斯方程中识别和讨论了相关项 \((2\Omega u \sin \theta)\)。

同样，热力学方程也是在旋转参考系中测量所有可观测量的。

也就是说，质量守恒方程和热力学方程并不会因为旋转的存在而发生改变。

更一般地说，标量演化方程在旋转参考系和惯性参考系中是相同的，不受旋转的影响。

2.2 球坐标系中的运动方程

由于地球以及我们所知的大多数其他行星非常接近球形，我们通常在球坐标系中表示方程。我们很少完全使用方程的球坐标形式，但我们的近似值直接源自这些方程。信任的读者可以跳过推导，直接查看主要结果，如(2.34)、(2.35)和(2.40)所示。

2.2.1 球坐标系中的一些恒等式

一个点的位置由坐标 \((λ, θ, r)\) 给出，其中：

• λ 是向东的角度距离（即，经度）。
• θ 是向极点的角度距离（即，纬度）。
• r 是从地球中心到该点的径向距离。

（在其他一些研究领域中，余纬度也被用作球面坐标）。如果 a 是地球半径，则我们还可以定义 z = r - a。在给定位置，我们也可以定义笛卡尔增量 \((δx, δy, δz) = (r \cos θ δλ, r δθ, δr)\)。

对于一个标量变量 \(\varphi\)，其在球坐标系中的物质导数为：

\[ \frac{D \varphi}{Dt} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \frac{u}{r \cos \theta} \frac{\partial \varphi}{\partial \lambda} + \frac{v}{r} \frac{\partial \varphi}{\partial \theta} + w \frac{\partial \varphi}{\partial r} \]

其中，速度分量与坐标 \((λ, θ, r)\) 对应为：

\[ (u, v, w) \equiv \left(r \cos \theta \frac{D \lambda}{Dt}, r \frac{D \theta}{Dt}, \frac{D r}{Dt}\right) \]

也就是说，u 是纬向速度，v 是经向速度，w 是垂直速度。如果我们将 \((\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k})\) 定义为沿着 \((λ, θ, r)\) 增加方向的单位向量，那么：

\[ \mathbf{v} = \mathbf{i} u + \mathbf{j} v + \mathbf{k} w \]

还要注意：

\[ \frac{Dr}{Dt} = \frac{Dz}{Dt} \]

向量 \(\mathbf{B} = \mathbf{i} B^\lambda + \mathbf{j} B^\theta + \mathbf{k} B^r\) 的散度为：

\[ \nabla \cdot \mathbf{B} = \frac{1}{\cos \theta} \left[\frac{1}{r} \frac{\partial (B^\lambda )}{\partial \lambda} + \frac{1}{r} \frac{\partial (B^\theta \cos \theta)}{\partial \theta} + \frac{\cos \theta}{r^2} \frac{\partial (r^2 B^r)}{\partial r}\right] \]

标量的梯度为：

\[ \nabla \varphi = \mathbf{i} \frac{1}{r \cos \theta} \frac{\partial \varphi}{\partial \lambda} + \mathbf{j} \frac{1}{r} \frac{\partial \varphi}{\partial \theta} + \mathbf{k} \frac{\partial \varphi}{\partial r} \]

标量的拉普拉斯为：

\[ \nabla^2 \varphi = \frac{1}{r^2 \cos \theta} \left[\frac{1}{\cos \theta} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \lambda^2} + \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\cos \theta \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}\right) + \cos \theta \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial \varphi}{\partial r}\right)\right] \]

向量的旋度

向量的旋度表示为：

\[ \mathbf{curl} \, \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{r^2 \cos \vartheta} \begin{vmatrix} \mathbf{\hat{i}} r \cos \vartheta & \mathbf{\hat{j}}r & \mathbf{\hat{k}} \\ \frac{\partial}{\partial \lambda} & \frac{\partial}{\partial \vartheta} & \frac{\partial}{\partial r} \\ B^\lambda r \cos \vartheta & B^\vartheta r & B^r \end{vmatrix} \]

向量拉普拉斯 \(\nabla^2 \mathbf{B}\)（例如在计算动量方程中黏性项时使用）可以由以下向量恒等式得到：

\[ \nabla^2 \mathbf{B} = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{B}) \]

只有在笛卡尔坐标系中，它才具有简单的形式：

\[ \nabla^2 \mathbf{B} = \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial z^2} \]

球坐标系中的展开式本身对大多数人来说缺乏直观性。

单位向量的变化率

在球坐标中，定义单位向量为：

• \(\mathbf{i}\)：指向东方，平行于纬度线。
• \(\mathbf{j}\)：指向北方，平行于子午线。
• \(\mathbf{k}\)：径向指向外侧。

这些向量的方向随着位置而变化，这在几乎所有坐标系中都成立，唯独在笛卡尔坐标系中例外。因此，它们的物质导数不为零。

有效旋转速率

一种评估这些变化的方法是首先确定相对于地球的单位向量的有效旋转速率 \(\Omega_{flow}\)，即向量随流动而变化的速率，然后应用(2.3)。

具体来说，设流体速度为：

\[ \mathbf{v} = (u, v, w) \]

其中：

• u：纬向速度
• v：经向速度
• w：垂直速度

经向分量 \(v\) 产生一个位移：

\[ r δθ = v δt \]

这导致局部有效旋转速率围绕局部纬向轴为：

\[ -\frac{v}{r} \mathbf{i} \]

同样，纬向分量 \(u\) 产生一个位移：

\[ δλ r \cos \theta = u δt \]

从而产生一个绕地球旋转轴的有效旋转速率：

\[ \frac{u}{r \cos \theta} \]

因此，围绕地球旋转轴的旋转可以表示为：

\[ \mathbf{\Omega} = \Omega (\mathbf{j} \cos \theta + \mathbf{k} \sin \theta) \]

如果标量旋转速率不是 \(\Omega\) 而是 \(\frac{u}{r \cos \theta}\)，则向量旋转速率为：

\[ \frac{u}{r \cos \theta} (\mathbf{j} \cos \theta + \mathbf{k} \sin \theta) = \mathbf{j} \frac{u}{r} + \mathbf{k} \frac{u \tan \theta}{r} \]

因此，随流动移动的向量的总旋转速率为：

\[ \mathbf{\Omega}_{flow} = -\mathbf{i} \frac{v}{r} + \mathbf{j} \frac{u}{r} + \mathbf{k} \frac{u \tan \theta}{r} \]

将(2.3)应用于(2.31)，我们得到：

\[ \frac{D \mathbf{i}}{Dt} = \Omega_{flow} \times \mathbf{i} = \frac{u}{r \cos \theta} (\mathbf{j} \sin \theta - \mathbf{k} \cos \theta) \]

\[ \frac{D \mathbf{j}}{Dt} = \Omega_{flow} \times \mathbf{j} = -\mathbf{i} \frac{u}{r} \tan \theta - \mathbf{k} \frac{v}{r} \]

\[ \frac{D \mathbf{k}}{Dt} = \Omega_{flow} \times \mathbf{k} = \mathbf{i} \frac{u}{r} + \mathbf{j} \frac{v}{r} \]

2.2.2 运动方程 (Equations of Motion)

我们现在可以写出球形星球上的运动方程。

质量守恒和热力学方程 (Mass conservation and the thermodynamic equation)

质量守恒方程 (1.27a) 在球坐标系中展开为：

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{u}{r \cos \theta} \frac{\partial \rho}{\partial \lambda} + \frac{v}{r} \frac{\partial \rho}{\partial \theta} + w \frac{\partial \rho}{\partial r} + \frac{\rho}{r \cos \theta} \left[\frac{\partial u}{\partial \lambda} + \frac{\partial (v \cos \theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r} \frac{\partial (w r^2 \cos \theta)}{\partial r}\right] = 0. \quad (2.33) \]

等价地，使用形式 (1.27b)，该方程可写为：

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{1}{r \cos \theta} \frac{\partial (u \rho)}{\partial \lambda} + \frac{1}{r \cos \theta} \frac{\partial (v \rho \cos \theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial (r^2 w \rho)}{\partial r} = 0. \quad (2.34) \]

热力学方程 (Thermodynamic Equation)

热力学方程在势温形式下是一个平流方程。因此，使用 (2.20)，其绝热球坐标形式为：

\[ \frac{D \theta}{D t} = \frac{\partial \theta}{\partial t} + \frac{u}{r \cos \theta} \frac{\partial \theta}{\partial \lambda} + \frac{v}{r} \frac{\partial \theta}{\partial \theta} + w \frac{\partial \theta}{\partial r} = 0. \quad (2.35) \]

对于水蒸气或盐等示踪物质，也有类似的方程。

动量方程 (Momentum Equation)

回顾无粘动量方程：

\[ \frac{D \mathbf{v}}{D t} + 2 \mathbf{\Omega} \times \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p - \nabla \Phi. \quad (2.36) \]

其中，\(\Phi\) 是位势。在球坐标系中，坐标轴方向随位置变化，因此 (2.36) 的分量展开为：

\[ \frac{D \mathbf{v}}{D t} = \frac{D u}{D t} \mathbf{i} + \frac{D v}{D t} \mathbf{j} + \frac{D w}{D t} \mathbf{k} + u \frac{D \mathbf{i}}{D t} + v \frac{D \mathbf{j}}{D t} + w \frac{D \mathbf{k}}{D t}. \quad (2.37a) \]

或者：

\[ \frac{D \mathbf{v}}{D t} = \frac{D u}{D t} \mathbf{i} + \frac{D v}{D t} \mathbf{j} + \frac{D w}{D t} \mathbf{k} + \mathbf{\Omega}_{\text{flow}} \times \mathbf{v}. \quad (2.37b) \]

使用 (2.32) 和单位向量的变化率表达式，以及 (2.31) 中给出的 \(\mathbf{\Omega}_{\text{flow}}\)，(2.37) 变为：

\[ \frac{D \mathbf{v}}{D t} = \mathbf{i} \left(\frac{D u}{D t} - \frac{w v \tan \theta}{r} + \frac{u v}{r}\right) + \mathbf{j} \left(\frac{D v}{D t} + \frac{u^2 \tan \theta}{r} + \frac{w u}{r}\right) + \mathbf{k} \left(\frac{D w}{D t} - \frac{u^2 + v^2}{r}\right). \quad (2.38) \]

使用向量叉积的定义，科里奥利项为：

\[ 2 \mathbf{\Omega} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 \Omega \cos \theta & 2 \Omega \sin \theta \\ u & v & w \end{vmatrix} = \mathbf{i} (2 \Omega w \cos \theta - 2 \Omega v \sin \theta) + \mathbf{j} (2 \Omega u \sin \theta) - \mathbf{k} (2 \Omega u \cos \theta). \quad (2.39) \]

2.2.3 原始方程 (Primitive Equations)

在考虑大尺度大气流动时，(2.40) 可以简化为三种方式：

1. 通过静力学假设。
2. 忽略垂直速度项，因为 \(|w| \ll |u|, |v|\)。
3. 将到地心的距离 \(r\) 视为常数 \(a\)，并将 \(r\) 替换为 \(a\) 且 \(\partial / \partial r\) 替换为 \(\partial / \partial z\)。

这些简化最终源于大气相对于地球半径的薄壳特性。

方程变为：

\[ \frac{D u}{D t} - 2 \Omega v \sin \theta + \frac{u v \tan \theta}{a} = -\frac{1}{\rho a \cos \theta} \frac{\partial p}{\partial \lambda}. \quad (2.41a) \]

\[ \frac{D v}{D t} + 2 \Omega u \sin \theta + \frac{u^2 \tan \theta}{a} = -\frac{1}{\rho a} \frac{\partial p}{\partial \theta}. \quad (2.41b) \]

\[ \frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g. \quad (2.41c) \]

2.3 笛卡尔近似：切平面 (Cartesian Approximations: The Tangent Plane)

2.3.1 f-平面

虽然地球的自转对于许多动力学现象都至关重要，但地球的球形特性并不总是那么重要，尤其当研究尺度小于全球范围时；在这种情况下，使用局部笛卡尔形式来表示这些方程将变得十分便利。参考图2.3中的红色线段，我们在某个纬度 ϑ₀ 处定义了一个与地球表面相切的平面，然后使用一个笛卡尔坐标系 (x, y, z) 来描述该平面上的运动。

对于在该平面上的小范围运动，我们将 \[ (x, y, z) \approx (a \lambda \cos \theta_0, a (\theta - \theta_0), z) \] 之类的形式进行一致设定，从而让 u、v、w 分别代表在这个切平面上近似为东西向、南北向以及垂直方向的速度分量。这样一来，不使用浅薄大气近似的情况下，该平面内的流动动量方程就可以写为 (2.42a)、(2.42b) 和 (2.42c)：

\[ \frac{\partial u}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) u + 2(\Omega^y w - \Omega^z v) = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x},(2.42a) \]

\[ \frac{\partial v}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) v + 2(\Omega^z u - \Omega^x w) = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y},(2.42b) \]

\[ \frac{\partial w}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) w + 2(\Omega^x v - \Omega^y u) = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} - g,(2.42c) \]

其中，旋转向量可以写作 Ω = Ω_x i + Ω_y j + Ω_z k，并令Ω^X =0 Ω^Y = Ω cos ϑ₀，Ω^Z = Ω sin ϑ₀。我们现在忽略 Ω 在局部垂直方向之外的所有分量，这称为“传统近似 (the traditional approximation)”，在这里它可以被视为对应于浅薄大气近似的一种笛卡尔类比 (Cartesian analogue)。注意，所有被忽略的项都要么被乘以或被投影到一个垂直速度上，因此并未明确列出。

在此近似下，这些方程变为：

\[ \frac{D u}{D t} - f_0 v = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}, \quad \frac{D v}{D t} + f_0 u = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y}, \quad \frac{D w}{D t} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} - g, \quad (2.43a,b,c) \]

其中 f₀ = 2Ω sin ϑ₀。定义水平速度向量

f_(u) = (u, v)

，

则第一个方程可写为：

\[ \frac{D \mathbf{u}}{D t} + f_0 \times \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla_p p, \quad (2.44) \]

其中 \(\nabla_p\) 表示只对 x 和 y 进行偏导的水平梯度算子。这样，这些方程与一个旋转向量与局部垂直方向对齐的系统中的动量方程是相同的，如图2.3 (b) 所示；我们进行了所谓的 f-平面近似。在垂直方向上，常常会有一个较好的平衡关系：压力梯度力与重力相互平衡；如果满足静力近似，那么 (2.43c) 变为 \[\partial p / \partial z = -\rho g\]。该方程加上 (2.43a,b) 则为 f-平面上的原始方程 (primitive equations)。

2.3.2 β-平面 (The Beta-Plane)

地球自转的垂直分量随纬度而变化，这对动力学有重要影响。我们可以通过让切平面上有效的旋转矢量随位置变化来近似这一效应，从而引入所谓的“β-平面近似 (beta-plane approximation)”。也就是说，对于纬度的微小变化，可以写作：

\[ f = 2\Omega \sin \vartheta = 2\Omega \sin \vartheta_0 + 2\Omega (\vartheta - \vartheta_0) \cos \vartheta_0, \quad (2.45) \]

如果将这个平面视为允许柯里奥利参数随 y 变化，我们可以将柯里奥利参数写为：

\[ f = f_0 + \beta y, \quad \text{其中} \ f_0 = 2 \Omega \sin \vartheta_0, \ \beta = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2\Omega \cos \vartheta_0}{a}. \]

这种重要的近似称为 β-平面近似；它捕捉了球形特性最重要的动力学效应，同时不必考虑复杂的几何因素，这些因素并非在许多现象的描述中不可或缺。这样，球形与自转相结合在动力学上等价于一个差异自转系统。为了在后面引用，我们将 β-平面水平动量方程写为：

\[ \frac{D \mathbf{u}}{D t} + f \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla_p p, \quad (2.47) \]

其中 f = (f_0 + \beta y)\hat{\mathbf{k}}。用分量形式表示，该方程变为：

\[ \frac{D u}{D t} - f v = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}, \quad \frac{D v}{D t} + f u = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y}. \quad (2.48a,b) \]

质量守恒方程、热力学方程以及静力方程在 β-平面近似中与通常的笛卡尔 f-平面形式相同，这些方程的形式在下一页的框内给出。

2.4 大气和海洋中的密度变化

我们现在转换视角，观察大气在垂直方向上密度如何变化。我们将发现，通过采用布辛涅斯克近似（Boussinesq approximation）或稍显反直觉地使用压力作为我们的垂直坐标，可以进一步简化运动方程。

2.4.1 大气中的密度变化

为了估计大气中密度如何变化，让我们假设温度是一个常数，T₀，显然这是一个非常粗略的近似，并引入静力平衡。于是我们有：

∂p/∂z = -ρg

由于大气是理想气体，p = ρRT₀。密度随高度的变化由以下公式给出：

\[ \frac{\partial \rho}{\partial z} = \left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_T \frac{\partial p}{\partial z} = \left(\frac{1}{RT_0}\right) \frac{\partial p}{\partial z} = -\frac{\rho g}{RT_0} \]

使用静力学获得上述最后一个等式。解 (2.49) 得到：

\[ \rho = \rho_0 \exp\left(-\frac{z}{H_p}\right) \]

其中，Hₚ = RT₀ / g 是大气的 尺度高度（scale height）。这种计算在温度随高度显著变化时并不精确，但定性结果仍然成立，即如果我们只关注远小于尺度高度的运动，密度变化可以忽略。在气象学的一个分支中，不可压缩性条件在边界层气象学中得到了定量的应用。

切平面上的方程

在切平面上，并使用笛卡尔坐标系，没有强迫或摩擦的情况下，运动方程如下：

x-动量：

\[ \frac{Du}{Dt} - fv = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}, \quad (T.1) \]

在x方向，物体的动量变化由科氏力、压强梯度和密度的相互作用决定。

y-动量：

\[ \frac{Dv}{Dt} + fu = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y}, \quad (T.2) \]

在y方向，物体的动量变化由科氏力、压强梯度和密度的相互作用决定。

z-动量：

\[ \frac{Dw}{Dt} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} - g, \quad (T.3a) \]

在z方向，物体的动量变化受到压强梯度、密度以及重力加速度的影响。

或静力平衡：

\[ \frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g, \quad (T.3b) \]

静力平衡条件下，压强的垂直梯度与密度和重力之间存在平衡关系。

质量连续性：

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0, \quad (T.3) \]

质量连续性方程表明，系统中的质量是守恒的，密度的变化由流体的速度场决定。

热力学：

\[ \frac{D\theta}{Dt} = 0. \quad (T.4) \]

在理想情况下，位温是守恒的。

补充说明：

在这些方程中：

• \( \frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + u \frac{\partial}{\partial x} + v \frac{\partial}{\partial y} + w \frac{\partial}{\partial z} \)
• \( \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} \)

在 f 平面上，\( f = f_0 \)，而在 β 平面上，\( f = f_0 + \beta y \)。

• \( \frac{D}{Dt} \)：物质导数，描述了随流体元素运动的物理量变化。
• \( \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) \)：密度乘以速度场的散度，表示流体的密度通量。
• 在 f 平面上，科氏参数 \( f \) 是常数；在 β 平面上，科氏参数 \( f \) 随纬度线性变化。

2.4.2 海洋中的密度变化

海洋中密度的变化主要由三种效应引起：

• 水的压缩（Pressure Compressibility），用Δₚρ表示。
• 水温变化引起的热膨胀（Thermal Expansion），用Δₜρ表示。
• 盐度变化引起的卤缩（Haline Contraction），用Δₛρ表示。

这些效应有多大呢？使用一个线性状态方程可以近似地评估这些效应：

\[ \rho = \rho_0 \left[1 - \beta_T (T - T_0) + \beta_S (S - S_0) + \beta_P (p - p_0)\right] \]

其中：

• βₜ ≈ 2 × 10^{-4}\,K^{-1} 是热膨胀系数。
• βₛ ≈ 10^{-3}\,g/kg^{-1} 是盐度收缩系数。
• βₚ ≈ 4.4 × 10^{-10}\,m^{-2}\,s^{-2}\,kg^{-1} 是压缩系数。

压缩效应（Pressure Compressibility）

我们有：

\[ Δₚρ ≈ βₚρ₀Δp = \frac{Δp}{c_s^2} ≈ \frac{ρ₀gH}{c_s^2} \]

其中 H 是深度，我们使用静力平衡来估计压力变化。因此：

\[ \left|\frac{Δₚρ}{ρ₀}\right| ≈ \frac{gH}{c_s^2} ≈ 4 × 10^{-2} \]

当 H = 8 km 时，c_s^2 / g = 200 km 是海洋的密度尺度高度。因此，海洋底部的压力变化是显著的。

热膨胀效应（Thermal Expansion）

我们有：

\[ Δₜρ ≈ -βₜρ₀ΔT \]

因此：

\[ \left|\frac{Δₜρ}{ρ₀}\right| ≪ 1 \quad \text{如果} \quad βₜΔT ≪ 1 \]

对于 ΔT = 20K，我们得到：

\[ βₜΔT ≈ 4 × 10^{-3} \]

显然，我们需要温度差达到 βₜ^{-1} 的量级（即 5000K）才能达到密度显著变化的程度。沸水的密度仅比接近冰点的水轻几个百分点。

盐度收缩效应（Saline Contraction）

我们有：

\[ Δₛρ ≈ βₛρ₀ΔS \]

因此：

\[ \left|\frac{Δₛρ}{ρ₀}\right| ≈ βₛΔS ≈ 5 × 10^{-3} \]

对于盐度变化为 5 g/kg。死海的盐度约为 350 g/kg，大约是开阔海洋的 10 倍，水的密度约比普通海水重 25%。但盐度变化仍然不足以引起显著的密度变化。

显然，海洋中由于压力、温度和盐度变化引起的密度分数变化确实非常小。（在海洋和大气中，还有另一个与密度变化相关的过程，那就是声波。然而，声波在海洋学和气象学中几乎总是被视为不重要的，因此我们将在后续讨论中忽略它们。）

2.5 布辛涅斯克方程 (The Boussinesq Equations)

布辛涅斯克方程以法国科学家约瑟夫·布辛涅斯克（Joseph Boussinesq）的名字命名，他在1903年提出了这一近似方法，尽管类似的近似在1879年由德国科学家安东·奥贝克（Anton Oberbeck）使用。

在海洋中，密度的变化虽然很小，但这些变化对于海洋洋流的形成至关重要。我们希望利用水几乎不可压缩的特性，但也希望在必要时允许密度发生变化。Boussinesq approximation（布辛涅斯克近似）引出的布辛涅斯克方程，是一种能够实现这一目标的近似方法。

事实上，尽管在大气中密度变化很大，但即使在那里，布辛涅斯克方程也能够以一种非常经济的方式捕捉许多重要的大尺度大气现象。

由于密度变化假定较小，我们写成：

\[ \rho = \rho_0 + \delta \rho(x, y, z, t), \]

其中，\(\rho_0\) 是一个常数，我们假设 \(|\delta \rho| \ll \rho_0\)；这是该近似中的关键假设。

与恒定密度相关的是一个参考压力 \(p_0(z)\)，它在静力平衡下与该密度保持平衡，因此：

\[ p = p_0(z) + \delta p(x, y, z, t), \quad \text{其中} \quad \frac{dp_0}{dz} = -g \rho_0. \]

2.5.1 动量方程 (Momentum Equations)

在没有近似的情况下，动量方程可以写成：

\[ (\rho_0 + \delta \rho) \frac{D\mathbf{u}}{Dt} = -\nabla \delta p - \frac{\partial p_0}{\partial z} \mathbf{k} - g(\rho_0 + \delta \rho) \mathbf{k}. \]

使用上式的静力平衡关系，这个方程变为：

\[ (\rho_0 + \delta \rho) \frac{D\mathbf{u}}{Dt} = -\nabla \delta p - g \delta \rho \mathbf{k}. \]

如果密度变化很小，该方程简化为：

\[ \frac{D\mathbf{u}}{Dt} = -\nabla \phi + b \mathbf{k}, \]

其中：

• \(\phi = \delta \rho / \rho_0\) 是运动压力（忽略基本静力压力的贡献）。
• \(b = -g \delta \rho / \rho_0\) 是浮力。

我们不应忽略 \(\delta \rho g\) 项，因为没有理由认为它很小：\(\delta \rho\) 可能很小，但 \(g\) 很大！

方程 (2.59) 是布辛涅斯克近似下的动量方程。

2.5.2 质量连续性 (Mass Continuity)

未经近似的质量连续性方程为：

\[ \frac{D \delta \rho}{Dt} + (\rho_0 + \delta \rho) \nabla \cdot \mathbf{u} = 0. \]

因为密度变化被假定很小，我们可以将该方程近似为：

\[ \nabla \cdot \mathbf{u} = 0, \]

这与恒定密度流体的情况相同。

这个方程绝不意味着可以回到 \(\frac{D \delta \rho}{Dt} = 0\)；密度的演变由热力学方程以及状态方程给出，不应与质量守恒方程混淆。

2.5.3 布辛涅斯克热力学 (Boussinesq Thermodynamics)

布辛涅斯克方程通过增加一个状态方程、热力学方程，以及在需要时增加一个盐度演化方程而闭合。热力学方程有不同的近似级别，最简单的是：

\[ \frac{D T}{Dt} = \dot{T}. \]

布辛涅斯克方程

简单的布辛涅斯克方程适用于无粘性流体：

动量方程：

\[ \frac{D \mathbf{u}}{D t} = -\nabla \phi + b \mathbf{k}, \quad (B.1) \]

动量方程描述了流体速度的变化，由压力梯度和浮力项决定。

质量守恒方程：

\[ \nabla \cdot \mathbf{v} = 0, \quad (B.2) \]

质量守恒方程表明流体是不可压缩的。

浮力方程：

\[ \frac{D b}{D t} = b, \quad (B.3) \]

浮力方程描述了浮力随时间的演变。

浮力与密度的关系：

浮力与密度的关系由以下公式给出：

\[ b = -g \frac{\partial \rho}{\rho_0} \]

浮力与密度的变化成正比，密度越大，浮力越大。

在理想气体中，它与位温近似相关：

\[ b = g \frac{\theta'}{\theta_0} \]

浮力与位温的偏差成正比，位温越高，浮力越大。

热力学方程：

\[ \frac{D T}{D t} = \mathcal{T}, \quad (B.4) \]

热力学方程描述了温度随时间的变化，由热源项控制。

盐度方程：

\[ \frac{D S}{D t} = \mathcal{S}, \quad (B.5) \]

盐度方程描述了盐度随时间的变化，由盐源项控制。

状态方程：

\[ b = b(T, S, p), \quad (B.6) \]

状态方程将浮力与温度、盐度和压力联系起来。

水静力压力：

其中：

\[ p = -\rho_0 g z \]

静水压力与深度成正比，由密度和重力决定。

如果盐度变化也需要考虑（如在海洋中），我们可以引入盐度的演化方程：

\[ \frac{D S}{D t} = S, \quad (2.63) \]

盐度方程右侧表示盐分的源、汇和扩散传输。

我们可以使用状态方程将温度和盐度与密度联系起来，从而与浮力相关联：

\[ b = g \left[\beta_T (T - T_0) + \beta_S (S - S_0) - \frac{g z}{c^2} \right], \quad (2.64) \]

浮力由温度偏差、盐度偏差和深度项共同决定。

在实验室条件下，如果盐度和压力对密度的影响可以忽略，我们可以使用简化的线性状态方程：

\[ \rho = \rho_0 \left[1 - \beta_T (T - T_0)\right] \]

密度与温度偏差成线性关系，温度越高，密度越小。

由此可得：

\[ \frac{D b}{D t} = b, \quad (2.65) \]

浮力的变化与时间的导数有关。

其中：

\[ b = Q g \beta_T / c_v \]

简单的布辛涅斯克方程使用了上述关系来描述浮力的变化。

在大气应用中，浮力近似与位温相关：

\[ b = g \frac{\theta'}{\theta_0} \]

在大气中，浮力与位温偏差成正比，位温越高，浮力越大。

2.5.4 布辛涅斯克系统的能量 (Energetics of the Boussinesq System)

在均匀重力场中，没有其他强制或耗散的情况下，我们将布辛涅斯克方程写成：

\[ \frac{D\mathbf{u}}{Dt} = b \mathbf{k} - \nabla \phi, \quad \nabla \cdot \mathbf{u} = 0, \quad \frac{D b}{Dt} = 0. \]

动能演化为：

\[ \frac{1}{2} \frac{D v^2}{Dt} = bw - \nabla \cdot (\phi \mathbf{v}). \]

物质导数的展开给出：

\[ \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2} v^2 - bz \right) + \nabla \cdot \left[\mathbf{v}\left(\frac{1}{2} v^2 - bz + \phi\right)\right] = 0. \]

该方程构成了布辛涅斯克系统的能量方程。

2.5.5 弹性方程 (Anelastic Equations)

布辛涅斯克的不可压缩性假设对于涉及垂直尺度在一个或多个尺度高度的定量大气计算来说过于强烈。弹性方程通过假设密度具有一个仅随垂直方向变化的背景状态 \(\bar{\rho}(z)\) 部分地放松了这个假设。

质量连续性方程变为：

\[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{1}{\bar{\rho}} \frac{\partial (\bar{\rho} w)}{\partial z} = 0. \]

对于理想气体，浮力与位势温度的关系为：

\[ b = g \delta \theta / \theta_0, \]

其中 \(\theta_0\) 是一个常数。

2.6 压力坐标系

尽管使用 z 作为垂直坐标是一个自然的选择，但它并不是唯一的选择。任何与 z 存在一一对应关系并且在垂直方向上单调变化的变量都可以用作坐标。在大气中，压力几乎总是随着高度单调下降，使用压力代替 z 作为垂直坐标，可以显著简化质量守恒方程和地转关系，同时也更直接地与观测结果联系起来，这些观测结果通常是在固定压力值下获得的。

2.6.1 一般垂直坐标

首先考虑一个通用的垂直坐标，记为 ξ。任何作为坐标 (x, y, z, t) 的函数 Ψ，可以通过将 ξ 看作 (x, y, z, t) 的函数，改用 (x, y, ξ, t) 来表示。关于 z 和 ξ 的导数之间的关系为：

\[ \frac{\partial \Psi}{\partial \xi} = \frac{\partial \Psi}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial \xi}, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial z} = \frac{\partial \Psi}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial z} \]

水平导数在这两个坐标系中的关系由链式法则给出：

\[ \left(\frac{\partial \Psi}{\partial x}\right)_{\xi} = \left(\frac{\partial \Psi}{\partial x}\right)_z + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{\xi} \frac{\partial \Psi}{\partial z} \]

在 ξ 坐标中，物质导数可以通过注意到“垂直速度”在 ξ 坐标中是 Dξ/Dt，就像在 z 坐标中的垂直速度是 w = Dz/Dt。因此，我们可以写成：

\[ \frac{D \Psi}{D t} = \left(\frac{\partial \Psi}{\partial t}\right)_{x, y, \xi} + u \cdot \nabla_{\xi} \Psi + \dot{\xi} \frac{\partial \Psi}{\partial \xi} \]

其中 ∇ξ 是在恒定 ξ 条件下的梯度算子。算子 D/Dt 在物理上在 z 或 ξ 坐标中是相同的，因为它是流体微团某一性质的总导数，这独立于坐标系统。然而，其各个项在不同坐标系统中有所不同。

2.6.2 在压力坐标中的应用

在压力坐标中，垂直速度的对应量是 ω = Dp/Dt，并且平流导数本身可表示为：

\[ \frac{D}{D t} = \frac{\partial}{\partial t} + u \cdot \nabla_p + \omega \frac{\partial}{\partial p} \]

注意，平流导数在高度坐标和压力坐标中是相同的运算，因为它只是给定流体微团的总导数；它仅以不同的坐标表示。

为了得到压力力的表达式，现在让 ξ = p 并将关系应用于 p 本身，得到：

\[ 0 = \left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_z + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_p \frac{\partial p}{\partial z} \]

使用静力学关系，得到：

\[ \left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_z = \rho \left(\frac{\partial \Phi}{\partial x}\right)_p \]

其中，Φ = gz 是重力位势。因此，水平压力力方程变为：

\[ \frac{1}{\rho} \nabla_z p = \nabla_p \Phi \]

其中，梯度算子的下标表示水平导数是在恒定 z 或恒定 p 条件下取的。水平动量方程变为：

\[ \frac{D u}{D t} + f \times u = -\nabla_p \Phi \]

其中 D/Dt 由上式定义。静力方程在高度坐标中为 ∂p/∂z = -ρg，在压力坐标中变为：

\[ \frac{\partial \Phi}{\partial p} = -\alpha \quad \text{或} \quad \frac{\partial \Phi}{\partial p} = -\frac{p}{RT} \]

在静力学近似下，质量守恒方程在压力坐标中简化为：

\[ \frac{D}{D t}(\rho \delta V) = 0 \]

其中，δV = δx δy δz 是体积元。但根据静力关系 ρδz = -(1/g)δp，因此：

\[ \frac{D}{D t}(\delta x \delta y \delta p) = 0 \]

这与不可压缩流体中体积守恒表达式完全类似。因此，在压力坐标中，质量守恒方程可写为：

\[ \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_p + \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)_p + \frac{\partial \omega}{\partial p} = 0 \quad \text{或} \quad \nabla_p \cdot u + \frac{\partial \omega}{\partial p} = 0 \]

其中，水平导数在恒定压力条件下取值。

(绝热)热力学方程仍然是：

\[ \frac{D \Theta}{D t} = 0 \]

并且 \(\Theta\) 可以使用其定义与压力和温度相关联。

为了完成方程组，我们从理想气体方程开始：

\[ c_p \frac{D T}{D t} - \alpha \frac{D p}{D t} = 0 \]

由于 \(\omega = \frac{D p}{D t}\)，该方程变为：

\[ c_p \frac{D T}{D t} - \frac{R T}{p} \omega = 0 \]

压力坐标与对数压力坐标下的运动方程

在压力坐标下，绝热、无黏性的基本方程如下：

水平动量方程：

\[ \frac{D u}{D t} + f \times u = -\nabla_p \Phi, \]

(P.1)

静力方程：

\[ \frac{\partial \Phi}{\partial p} = -\frac{R T}{p}, \]

(P.2)

质量连续性方程：

\[ \nabla_p \cdot u + \frac{\partial \omega}{\partial p} = 0, \]

(P.3)

热力学方程：

\[ \frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} + \omega S_p = 0 \quad \text{或} \quad \frac{D \Theta}{D t} = 0, \]

(P.4)

其中，\(S_p = \kappa T / p - \partial T / \partial p\)，\(\kappa = R / c_p\)，\(\Theta = T(p_0 / p)^\kappa\) 是位温。

上述方程分别为水平动量方程、静力方程、质量守恒方程和热力学方程。

使用静力和理想气体关系，热力学方程也可以写成：

\[ \frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} + \omega \frac{\partial T}{\partial p} + \frac{\partial s}{\partial p} = 0, \]

(P.5)

其中，\(s = T + gz / c_p\) 是干静能除以 \(c_p\)。

对数压力坐标下的相应方程

水平动量方程：

\[ \frac{D u}{D t} + f \times u = -\nabla_p \Phi, \]

(P.6)

静力方程：

\[ \frac{\partial \Phi}{\partial z} = -\frac{R T}{H}, \]

(P.7)

质量连续性方程：

\[ \nabla_z \cdot u + \frac{1}{P_n} \frac{\partial P_n W}{\partial z} = 0, \]

(P.8)

热力学方程：

\[ \frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} + W S_z = 0 \quad \text{或} \quad \frac{D \Theta}{D t} = 0, \]

(P.9)

其中，\(P_n = \rho_0 \exp(-Z / H)\)，\(S_z = \kappa T / H + \partial T / \partial Z\)。

热力学方程也可以写成：

\[ \frac{\partial \Phi}{\partial z} + u \frac{\partial \Phi}{\partial x} + v \frac{\partial \Phi}{\partial y} + W \frac{\partial \Phi}{\partial z} + W N^2 = 0, \]

(P.10)

其中，\(N^2_z = (R / H S_z)\)。

在压力坐标中，适当的热力学方程可以写成：

\[ \frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} - \omega S_p = 0, \]

其中：

\[ S_p = \kappa \frac{T}{p} \frac{\partial T}{\partial p} = \frac{T}{\theta} \frac{\partial \theta}{\partial p}, \]

(2.84a,b)

使用理想气体方程和位温的定义，\( \kappa = R / c_p \)。

量 \( S_p \) 是静态稳定性的一种衡量标准，它与浮力频率 \( N \) 密切相关。

压力坐标方程的主要实际难点是下边界条件。

使用：

\[ w \equiv \frac{Dz}{Dt} = \frac{\partial z}{\partial t} + u \cdot \nabla_p z + \omega \frac{\partial z}{\partial p}, \]

(2.85)

并使用(2.79)，当 \( w = 0 \) 在 \( z = z_s \) 时，下边界条件变为：

\[ \frac{\partial \phi}{\partial t} + u \cdot \nabla_p \phi - \alpha \omega = 0, \]

(2.86)

在 \( p(x, y, z_s, t) \) 上。

在理论或理想化研究中，通常假设下边界实际上是一个恒定压力表面，并简单地假设 \( \omega = 0 \)。

压力坐标方程（在前一页的阴影框中收集在一起）在结构上与静力广义Boussinesq方程非常相似（参见第38页的阴影框）。

事实上，可以建立一个正式的一一对应关系，但我们在这里不再深入探讨。

2.6.3 对数压力坐标 (Log-Pressure Coordinates)

对数压力坐标是压力坐标的一种变体，其中垂直坐标定义为：

\[ Z = -H \ln\left(\frac{p}{p_R}\right) \]

其中，\( p_R \) 是一个参考压力（例如1000 hPa），\( H \) 是一个常数（例如比例高度 \( RT_0 / g \)，其中 \( T_0 \) 也是一个常数）。因此，\( Z \) 具有长度的单位。（对数压力坐标中，通常使用大写字母来表示某些变量，不要与缩放参数混淆。）

系统的“垂直速度”定义为：

\[ W \equiv \frac{DZ}{Dt} \]

（2.87）

对流导数定义为：

\[ \frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + u \cdot \nabla_p + W \frac{\partial}{\partial Z} \]

（2.88）

水平动量方程与（2.78）相同，尽管我们使用（2.88）来评估对流导数。

显然可以看出，静力方程变为：

\[ \frac{\partial \Phi}{\partial Z} = \frac{RT}{H} \]

（2.89）

质量连续性方程（2.82）变为：

\[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial W}{\partial Z} - \frac{W}{H} = 0 \]

（2.90）

这可以写成：

\[ \nabla_Z \cdot u + \frac{1}{\rho_R} \frac{\partial (\rho_R W)}{\partial Z} = 0 \]

（2.91）

其中，\( \nabla_Z \) 是在恒定 \( Z \) 下的散度，\( \rho_R = \rho_0 \exp(-Z / H) \)。

与压力坐标一样，将热力学方程以温度而非位温的形式表示更为方便。因此，由于 \( W = -\left(\frac{H}{p}\right)\frac{Dp}{Dt} \)，（1.53b）变为：

\[ c_p \frac{DT}{Dt} + W \frac{RT}{H} = 0 \]

（2.92）

这个方程可以写成：

\[ \frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} + W S_Z = 0 \]

（2.93）

其中，\( S_Z = \kappa \frac{T}{H} + \frac{\partial T}{\partial Z} \)。

以对数压力形式书写方程可以揭示很多内容。例如，积分静力方程（2.89）可得：

\[ z(p_2) - z(p_1) = -\frac{R}{g} \int_{p_1}^{p_2} T d \ln p \]

（2.94）

因此，两层之间的厚度与其平均温度成正比。此外，我们看到在恒定温度下，几何高度与压力的对数成线性关系。在240 K时，比例高度 \( RT / g \) 大约为7 km，而在280 K时约为8.2 km。一个有用的经验法则是，在地球大气中，每当压力减少一个数量级（例如从1000 hPa到100 hPa），几何高度大约增加16 km。因此，1000 hPa、100 hPa 和10 hPa 分别对应约0 km、16 km 和32 km 的高度，依此类推。

笔记和参考文献 (Notes and References)

在气象和海洋学中使用的方程组由Phillips（1963）和White（2002）回顾。两本讨论旋转流体动力学的书籍，风格和主题选择各异，分别是Salmon（1998）和Holton & Hakim（2012）。有关更多参考资料，请参见第3章末尾的笔记部分。

3 动态学在旋转星球上的应用

我们现在将运动方程付诸实践，通过这种方式，我们开始了在旋转星球上流体运动的动力学之旅。我们首先通过引入缩放来轻轻地开始，这构成了进行合理近似的艺术基础。

3.1 缩放简介

我们用来测量长度、速度等的单位与动力学无关，SI单位可能不是特定问题中最合适的单位。相反，将运动方程表达为“无量纲”变量是有用的，这意味着我们将每个变量表示为其值与某个参考值的比率。我们试图将参考值选择为给定流动的自然值，以便在可能的情况下，无量纲变量是数量级为1的。这称为缩放方程。流体动力学的艺术很大程度上在于为手头的问题选择合理的缩放因子，这样各种项的大小就会变得清晰，我们在这里给出一个简单的、非旋转的示例。

3.1.1 雷诺数

考虑在笛卡尔坐标系中的恒定密度动量方程。 如果一个典型速度是 \( U \)，一个典型长度是 \( L \)，一个典型时间尺度是 \( T \)，一个典型的压力偏差是 \( \Phi \)，那么动量方程中各项的近似大小由以下公式给出：

\[ \frac{\partial u}{\partial t} + (v \cdot \nabla)v = -\nabla \Phi + \nu \nabla^2 v, \quad (3.1a) \] \[ \frac{U^2}{L} \sim \frac{\Phi}{L} \sim \frac{\nu U}{L^2}. \quad (3.1b) \]

惯性项（即对流项）与黏性项之比为 \((U^2 / L) / (\nu U / L^2) = UL / \nu\)，这就是雷诺数。更正式地，我们可以通过将动量方程无量纲化来表达：

\[ \hat{v} = \frac{v}{U}, \quad \hat{x} = \frac{x}{L}, \quad \hat{t} = \frac{t}{T}, \quad \hat{\Phi} = \frac{\Phi}{\Phi}, \quad (3.2) \]

带有帽号的项是变量的无量纲值，而大写量被称为缩放值，这些是变量的近似量级。我们现在选择缩放值，使得无量纲变量的数量级为1，或者说 \(\hat{u} = O(1)\)。因此，例如，我们选择 \( U \) 使得 \( u = O(U) \)，表示变量 \( u \) 的量级大约是 \( U \)，或者说 \( u \sim U \)，我们称“\( u \) 像 \( U \) 一样缩放”。

在这个问题中，除了我们选择的速度和长度尺度外，我们无法用其他方法来缩放压力和时间，唯一正确的选择是：

\[ T = \frac{L}{U}, \quad \Phi = U^2. \quad (3.3) \]

将 (3.2) 和 (3.3) 代入动量方程，得到：

\[ \frac{U^2}{L} \left[ \frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{t}} + (\hat{v} \cdot \nabla)\hat{v} \right] = -\frac{U^2}{L} \nabla \hat{\Phi} + \frac{\nu U}{L^2} \nabla^2 \hat{v}, \quad (3.4) \]

我们使用约定，当 \(\nabla\) 作用于无量纲变量时，它是无量纲算子。方程 (3.4) 简化为：

\[ \frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{t}} + (\hat{v} \cdot \nabla)\hat{v} = -\nabla \hat{\Phi} + \frac{1}{Re} \nabla^2 \hat{v}, \quad (3.5) \]

其中：

\[ Re \equiv \frac{UL}{\nu}. \quad (3.6) \]

雷诺数再次出现。如果我们合理地选择了长度和速度的缩放——也就是说，如果我们正确地进行了缩放——方程 (3.5) 中的每个变量都是数量级为1的，黏性项乘以参数 \( 1 / Re \)。

有两个重要的结论：

1. 惯性项与黏性项的重要性之比由雷诺数给出，由方程 (3.6) 定义。在不存在其他力（例如重力和旋转）的情况下，雷诺数是动量方程中唯一显式出现的无量纲参数。因此，它的数值决定了系统的行为。
2. 更一般地，通过适当地缩放运动方程，可以显式地确定系统行为的参数。缩放方程是智能的无量纲化。

然而，将方程无量纲化并不能免除研究人员在适当单位中提供维度正确方程的责任。人们应将无量纲方程视为适合手头问题的维度方程。

3.2 静力平衡

生命太短暂，无法详细解决每一个复杂问题，大气科学和海洋科学充满了复杂的问题。以最常见的形式，流体动力学方程本身就是一组六个非线性偏微分方程（包括三个动量方程、一个热力学方程、一个质量连续性方程和一个状态方程），描述速度、压力、温度和密度。为了求解实际问题，我们需要加入水汽或盐度，以及辐射传输方程。这一切构成了一个复杂的系统，为了取得进展，我们需要在可能的情况下简化并消除次要效应。我们已经看到，对于密度几乎恒定的流体，通过布辛涅斯克近似如何做到这一点，现在我们研究重力和旋转的效应，看看它们如何在垂直和水平方向上产生静力平衡和地转平衡，这些是主导的平衡状态。静力和平衡以及地转平衡并不完全实现，但这种近似的满足对大气和海洋的行为有深远的影响。

我们从静力平衡开始。我们在1.3.3节中首次遇到了它，但现在我们更仔细地观察。我们从缩放方程开始，就像上一节所做的那样。

3.2.1 缩放估计

考虑垂直动量方程（2.42c）中各项的相对大小：

\[ \frac{W}{T} + \frac{UW}{L} + \frac{W^2}{H} + QU \sim \left| \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} \right| + g. \] (3.7)

对于大多数大气和海洋中的大尺度运动，右侧的各项比左侧的各项大几个数量级，因此它们必须大致相等。明确地，假设：

• \( W \sim 1 \, \text{cm s}^{-1} \)
• \( L \sim 10^5 \, \text{m} \)
• \( H \sim 10^3 \, \text{m} \)
• \( U \sim 10 \, \text{m s}^{-1} \)
• \( T = L/U \)

然后通过将其代入（2.42c），我们得到近似：

\[ \frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g. \] (3.8)

这个方程是一个垂直动量方程，被称为静力平衡。

然而，(3.8) 并不总是一个有用的方程！假设密度是一个常数，\(\rho_0\)。那么我们可以将压力写成：

\[ p(x, y, z, t) = p_0(z) + p'(x, y, z, t), \]

其中： \[ \frac{\partial p_0}{\partial z} = -\rho_0 g. \] (3.9)

也就是说，\(p_0\) 和 \(\rho_0\) 处于静力平衡状态。在 f 平面上，无粘垂直动量方程可以在没有近似的情况下写成：

\[ \frac{Dw}{Dt} = -\frac{1}{\rho_0} \frac{\partial p'}{\partial z}. \] (3.10)

3.2.2 静力平衡与纵横比

在布辛涅斯克流体中，我们将水平和垂直动量方程写成：

\[ \frac{Du}{Dt} + f \times u = -\nabla_z \phi, \quad \frac{Dw}{Dt} = -\frac{\partial \phi}{\partial z} + b. \] (3.13a,b)

当\( f = 0 \)时，(3.13a) 意味着缩放：

\[ \phi \sim U^2. \] (3.14)

如果我们使用质量守恒，\(\nabla_z \cdot u + \partial w / \partial z = 0\)，来缩放垂直速度，我们得到：

\[ w \sim W = \frac{H}{L} U = \alpha U, \]

其中 \(\alpha = H / L\) 是纵横比。垂直动量方程中的平流项都缩放为：

\[ \frac{Dw}{Dt} \sim \frac{UW}{L} = \frac{U^2 H}{L^2}. \] (3.16)

使用(3.14)和(3.16)，垂直动量方程中平流项与压力梯度项的比率缩放为：

\[ \left|\frac{Dw / Dt}{\partial \phi / \partial z}\right| \sim \frac{U^2 H / L^2}{U^2 / H} \sim \left(\frac{H}{L}\right)^2. \] (3.17)

因此，满足静力平衡的条件是：

\[ \alpha^2 \equiv \left(\frac{H}{L}\right)^2 \ll 1. \] (3.18)

在这种情况下，垂直动量中的平流项可以忽略。因此，静力平衡源自小纵横比近似。

我们可以通过将动量方程无量纲化，更正式地得到相同的结果。使用大写符号表示缩放值，我们写成：

\[ (x, y) = L(\bar{x}, \bar{y}), \quad z = H \bar{z}, \quad u = U \bar{u}, \quad w = W \bar{w} = \frac{HU}{L} \bar{w}, \] \[ t = T \bar{t} = \frac{L}{U} \bar{t}, \quad \phi = \Phi \bar{\phi} = U^2 \bar{\phi}, \quad b = B \bar{b} = \frac{U^2}{H} \bar{b}. \] (3.19)

将(3.19)代入(3.13)（当\( f = 0 \)时）我们得到无量纲方程：

\[ \frac{D \bar{u}}{D \bar{t}} = -\nabla \bar{\phi}, \quad \alpha^2 \frac{D \bar{w}}{D \bar{t}} = -\frac{\partial \bar{\phi}}{\partial \bar{z}} + \bar{b}. \] (3.20a,b)

从(3.20b)很明显，当\(\alpha^2 \ll 1\)时，静力平衡成立，即纵横比很小的情况下。

3.3 地转平衡与热成风平衡

我们现在考虑水平动量方程中占主导地位的动力平衡。在水平面（即沿等位势面）上，我们发现科里奥利项远大于平流项，主要平衡存在于科里奥利项与水平压力梯度力之间。这种平衡被称为地转平衡，当罗斯贝数较小时，这种平衡占主导地位。接下来我们将进行研究。

3.3.1 罗斯贝数

罗斯贝数描述了流体中旋转的重要性。它本质上是相对加速度与科里奥利加速度大小的比值，并在地球物理流体动力学中具有基础性的重要性。这个数来源于对水平动量方程中两个项的简单缩放，具体为：

即：

\[ \frac{\partial u}{\partial t} + (v \cdot \nabla)u + f \times u = -\frac{1}{\rho} \nabla p, \\ \frac{U^2}{L} \quad fU \]

(3.21a, 3.21b)

罗斯贝数（Ro = U / fL）以C.G.罗斯贝（1898-1957）的名字命名。他是一位瑞典科学家，在美国工作多年，是20世纪中叶动力气象学的重要奠基人。1940年，俄罗斯气象学家L. Kibel引入了类似的数值，这个数有时也被称为Kibel数或罗斯贝-基贝尔数。

变量	缩放符号	含义	大气值	海洋值
(x, y)	L	水平尺度	10^6 m	10^5 m
t	T	时间尺度	10^5 s (1天)	10^6 s
(u, v)	U	水平速度	10 m/s	0.1 m/s
Ro	U / fL	罗斯贝数	0.1	0.01

其中，U是水平速度的典型大小，L是速度变化的典型长度尺度。我们假设W/H ≤ U/L，因此垂直平流不会主导水平平流。科里奥利项与平流项大小的比值定义为罗斯贝数：

\[ Ro = \frac{U}{fL} \]

(3.22)

如果罗斯贝数较小，则旋转效应非常重要并可能占主导地位。从表3.1中的数值可以看出，这种情况存在于大气和海洋的大尺度流动中。

另一种理解罗斯贝数的方法是基于时间尺度。基于时间尺度的罗斯贝数定义为：

\[ Ro_T = \frac{1}{fT} \]

(3.23)

其中，T是与当前动力学相关的时间尺度。如果时间尺度是平流时间尺度，即T = L / U，那么这个定义等价于(3.22)。

现在，f = 2Ω sin θ，其中Ω是旋转框架的角速度，等于2π / T_p，其中T_p是旋转周期（地球大约为24小时）。因此：

\[ Ro_T = \frac{T_p}{4πT sin θ} = \frac{T_I}{T} \]

(3.24)

其中T_I = 1 / f是“惯性时间尺度”，在中纬度约为三小时。因此，对于时间尺度远大于此值的现象，如墨西哥湾流或中纬度大气天气系统，地球自转效应的重要性显而易见。而对于短暂现象，如积云云团或龙卷风，这些效应可能并不明显。

3.3.2 地转平衡

如果罗斯贝数足够小，那么旋转项将主导非线性平流项，并且如果时间尺度为平流时间尺度，那么旋转项也将主导局部时间导数。此时，唯一能够平衡旋转项的是压力项，因此我们必须有：

\[ f \times u = -\frac{1}{\rho} \nabla p, \]

(3.25)

或在笛卡尔分量形式下表示为：

\[ f u = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y}, \quad f v = \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} \]

(3.26)

这种平衡称为地转平衡，它的后果是深远的，使地球物理流体动力学在更广泛的流体动力学领域中占据特殊地位。

我们定义地转速度(u_g, v_g)为：

\[ f u_g = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y}, \quad f v_g = \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} \]

(3.27)

地转平衡有以下重要影响：

• 地转流与等压线平行。
• 如果科里奥利力恒定且密度在水平上不变，则地转流在水平方向上无辐合。

更多详细内容将在后续章节中探讨。

3.3.3 泰勒-普劳德曼效应

如果 β = 0，则(3.33)意味着垂直速度不随高度变化。事实上，在这种情况下，如果密度也是常数，那么速度的各个分量都不会随高度变化，正如我们现在所展示的那样。如果流动完全处于地转平衡和静力平衡中，那么水平和垂直动量方程变为：

\[ v = \frac{1}{f_0} \frac{\partial \phi}{\partial x}, \quad u = -\frac{1}{f_0} \frac{\partial \phi}{\partial y}, \quad \frac{\partial \phi}{\partial z} = -g. \quad (3.35a,b,c) \]

对(3.35a,b)关于z进行求导，并使用(3.35c)得到：

\[ \frac{\partial v}{\partial z} = -\frac{1}{f_0} \frac{\partial g}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{f_0} \frac{\partial g}{\partial y} = 0. \quad (3.36) \]

注意，地转速度在水平方向上是非辐散的（即，\(\partial u / \partial x + \partial v / \partial y = 0\)），并且使用质量连续性得到\(\partial w / \partial z = 0\)。因此，速度分量均不随高度变化。

如果流体中存在一个固体水平边界（例如在表面上），那么在该表面上\(w = 0\)，因此在任何地方\(w = 0\)。因此，运动发生在与旋转轴垂直的平面内。

3.3.4 热风平衡

热风平衡通过结合地转平衡和静力近似而产生，这在布辛涅斯克方程的背景下，或者在压力坐标中最容易实现。从布辛涅斯克方程开始，地转平衡可以写成：

\[ -fv_g = -\frac{\partial \phi}{\partial x}, \quad fu_g = -\frac{\partial \phi}{\partial y}. \quad (3.37a,b) \]

将这些关系与静力平衡\(\frac{\partial \phi}{\partial z} = b\)结合，得到：

\[ f \frac{\partial v_g}{\partial z} = \frac{\partial b}{\partial x}, \quad f \frac{\partial u_g}{\partial z} = \frac{\partial b}{\partial y}. \quad (3.38a,b) \]

这些方程代表了热风平衡，地转风的垂直导数即为“热风”。

如果密度或浮力是常数，那么(3.38)右侧为零，且不存在切变，恢复泰勒-普劳德曼效应的结果。但假设温度在向极方向下降，那么热风平衡意味着（向东的）风速将随高度增加，这正是在大气中观察到的情况！

一般来说，水平风的垂直切变与水平温度梯度相关联，这是地球物理流体动力学中最简单且影响深远的现象之一。其基础物理机制在图3.2中进行了说明。

地转和热风平衡在压力坐标中

在压力坐标中，地转平衡可以简单地表示为：

\[ f \times u_g = -\nabla_p \Phi. \quad (3.39) \]

其中，\(\Phi\)是位势，\(\nabla_p\)是取在恒定压力下的梯度算符。如果\(f\)是常数，那么从(3.39)可得地转风在压力面上是非辐散的。对(3.39)进行垂直导数（即对p的导数），并使用静力方程\(\partial \Phi / \partial p = -\alpha\)，得到热风方程：

\[ f \times \frac{\partial u_g}{\partial p} = \nabla_p \alpha = \frac{R}{p} \nabla_p T. \quad (3.40) \]

其中，最后一个等式使用了理想气体方程，并且水平导数在恒定压力下进行。分量形式为：

\[ -f \frac{\partial v_g}{\partial p} = \frac{R}{p} \frac{\partial T}{\partial x}, \quad f \frac{\partial u_g}{\partial p} = \frac{R}{p} \frac{\partial T}{\partial y}. \quad (3.41) \]

在对数压力坐标中，当\(Z = -H \ln(p / p_R)\)时，热风为：

\[ f \times \frac{\partial u_g}{\partial Z} = -\frac{R}{H} \nabla_Z T. \quad (3.42) \]

在所有这些情况下，效果都是相同的：水平温度梯度或沿等压面上的温度梯度伴随着水平风的垂直切变。

3.3.5 垂直速度的尺度估计

如果科里奥利参数是常数，那么处于地转平衡的水平流动在水平方向上是无辐散的（\(\nabla_x \cdot u = 0\)），并且垂直速度为零。因此，我们可以期望任何具有小罗斯贝数的流动将具有“小”的垂直速度。

将该陈述更精确地表述，使用旋转布辛涅斯克方程：

\[ \frac{\partial u}{\partial t} + u \cdot \nabla u + w \frac{\partial u}{\partial z} + f_0 \times u_a = 0. \quad (3.43) \]

方程表明无地转流动的尺度为：

\[ U_a = \frac{U}{f_0 L} U = Ro U. \quad (3.45) \]

垂直速度的尺度为：

\[ W = Ro \frac{HU}{L}. \quad (3.47) \]

如果科里奥利参数不是常数，地转流动本身具有辐散性，这将引起垂直速度，如(3.33)中所述。垂直速度的尺度现在为：

\[ W = \frac{\beta}{f} HU = \bar{\beta} \frac{HU}{L}. \quad (3.48) \]

旋转流动中静力平衡的尺度估计

我们已经看到，如果流动接近地转平衡，那么垂直速度将比其他情况下更小，并且我们可能因此更期望静力平衡更容易实现。为了证明这一点，我们使用(3.19)中的尺度，除了使用(3.47)和(3.34)。

\[ w = \frac{Ro HU}{L} \hat{w}, \quad \phi = \Phi \hat{\phi} = f U L \hat{\phi}, \quad b = B \hat{b} = \frac{f U L}{H} \hat{b}. \quad (3.49) \]

通过与第3.2.2节中的程序类似的步骤（有关详细信息，请参见问题3.4），我们现在得到了无量纲垂直动量方程：

\[ Ro^2 \alpha^2 \frac{D \hat{w}}{D \hat{t}} = -\frac{\partial \hat{\phi}}{\partial \hat{z}} - \hat{b}. \quad (3.50) \]

我们注意到物质导数中额外的因子\(Ro^2\)，这意味着与非旋转流体相比，快速旋转的流体在静力平衡中更有可能保持平衡，其他条件相同。因此，大气中的天气尺度系统以及大洋环流很可能处于非常良好的静力平衡状态，对于这些流动，静力近似所提供的概念性和实际简化的重要性不言而喻。

3.4 静态不稳定性与流体包络法

静力平衡是稳定的吗？考虑一个思想实验，我们取一个流体包裹并将其垂直移动。它会像被弹簧连接一样回到原始位置吗？如果是这样，它会围绕其原始位置振荡吗？或者，一旦被扰动，流体包裹会像从山顶释放的球一样继续移动吗？为了回答这个问题，考虑一个最初在恒定引力场中静止的流体，因此处于静力平衡状态。假设一个小的流体包裹在绝热条件下向上移动一个小距离 \(\delta z\)，并且流体包裹假设其环境的压力。

如果位移后流体包裹比其环境轻，它将向上加速，因为向上的压力梯度力现在大于流体包裹上的向下重力；也就是说，该流体包裹是浮力的（阿基米德原理的体现），流体是静态不稳定的。

另一方面，如果流体包裹发现自己比周围的环境重，向下的重力将大于向上的压力梯度力，流体将下沉回到其原始位置，并产生一个振荡运动。这种平衡是静态稳定的。利用这种简单的包络方法论证，我们现在提出环境剖面的稳定性标准。

3.4.1 稳定性与位势密度剖面

考虑一种密度随高度变化的静止流体。我们用波浪号表示这种背景状态，例如 \(\tilde{\rho}(z)\)。然后我们将一个流体包裹绝热地从 \(z\) 移动到 \(\delta z\)，如图 3.3 所示。在这种位移下，它是位势密度 \(\rho_\theta\)（而不是实际密度）在材料上是守恒的，因为位势密度考虑了压力可压缩性的影响。让我们以压力为参考水平，在该水平上位势密度等于原位密度。

从 \(z\) 开始的流体包裹具有其环境的位势密度，因此 \(\rho_\theta(z) = \tilde{\rho}_\theta(z)\)，并在上升过程中保持这一状态，因此： \[ \rho_\theta(z + \delta z) = \rho_\theta(z) \] 但是，由于 \(z + \delta z\) 是参考水平，被位移的包裹的原位密度 \(\rho(z + \delta z)\) 等于其位势密度 \(\rho_\theta(z + \delta z)\)，即： \[ \delta \rho = \rho(z + \delta z) - \rho(z) = \rho_\theta(z + \delta z) - \tilde{\rho}_\theta(z + \delta z) \] 将其整理成一个单一方程，包裹和其环境之间的密度差异在 \(z + \delta z\) 处可表示为： \[ \delta \rho = -\frac{\partial \tilde{\rho}_\theta}{\partial z} \delta z \] (3.52)

其中，右侧的导数是位势密度在垂直方向的环境梯度。如果右侧为正，则包裹比其周围环境重，位移是稳定的。因此，流体包裹的稳定性由局部参考位势密度的梯度决定。

稳定性的条件如下：

稳定性：	\(\frac{\partial \tilde{\rho}_\theta}{\partial z} < 0\)
不稳定性：	\(\frac{\partial \tilde{\rho}_\theta}{\partial z} > 0\)

(3.53a,b)

流体包裹的运动方程由牛顿第二定律直接应用得出，即质量乘以加速度等于作用在包裹上的力。力等于 \(g\) 乘以上述导出的浮力差异，因此： \[ \frac{\partial^2 \delta z}{\partial t^2} = \frac{g}{\rho} \left(\frac{\partial \tilde{\rho}_\theta}{\partial z}\right) \delta z = -N^2 \delta z, \] (3.54)

其中，注意到 \(\rho(z) = \tilde{\rho}_\theta(z)\) 在 \(O(\delta z)\) 范围内： \[ N^2 = -\frac{g}{\tilde{\rho}_\theta} \left(\frac{\partial \tilde{\rho}_\theta}{\partial z}\right) \] (3.55)

被稳定分层的流体中被扰动的包裹将以频率 \(N\) 振荡，称为浮力频率或布伦特-维萨拉频率，以其发现者命名。上述表达式对于在恒定引力场中的液体和气体都适用。量 \(\tilde{\rho}_\theta\) 是环境的局部参考位势密度。

对于大气层，参考水平并不重要（如下面所示），但对于海洋，特别是在存在盐度的情况下则很重要：在同一级别上，具有相同原位密度的包裹可能具有不同的位势密度。如果淡水中盐度不同，在实验室设置中位势密度几乎等于原位密度。

3.4 静态不稳定性与气块方法

静力平衡是稳定的吗？考虑一个思想实验，我们取一个流体微团并将其垂直移动。它会像附着在弹簧上一样回到原来的位置吗？如果是，它会围绕其原始位置振荡吗？或者，一旦被移动，这个流体微团会像从山顶释放的球一样继续移动吗？为回答这个问题，请考虑一个最初在恒定重力场中静止的流体，因此处于静力平衡状态。假设一个小的流体微团被绝热地向上位移了一个小距离 \( \delta z \)，并且流体微团假定其环境的压力。如果位移后流体微团比其环境更轻，它将加速向上，因为向上的压力梯度力现在大于向下的重力作用力；也就是说，这个微团是浮力的（阿基米德原理的表现），而流体是静态不稳定的。

另一方面，如果流体微团发现自己比周围环境更重，向下的重力作用力将大于向上的压力作用力，流体将向下沉降回其原始位置，并出现振荡运动。这种平衡是静态稳定的。利用这样简单的微团论点，我们现在发展出环境剖面稳定性的标准。

3.4.1 稳定性与势密度剖面

考虑一个密度随高度变化的静止流体情况。我们用波浪符号表示这个背景状态，如 \( \tilde{\rho}(z) \)。然后我们将一个流体微团绝热地从 \( z \) 位移到 \( \delta z \)，如图 3.3 所示。在这种位移中，它是势密度 \( \rho_\theta \)（而不是实际密度）被保守的，因为势密度考虑了压力可压缩性效应。让我们将压力水平 \( z + \delta z \) 作为参考水平，其中势密度等于原位密度。

微团从 \( z \) 开始，具有其环境的势密度 \( \rho_\theta(z) \)，并在上升过程中保持这一势密度，因此：

\[ \rho_\theta(z + \delta z) = \rho_\theta(z) \]

但由于 \( z + \delta z \) 是参考水平，位移微团的原位密度 \( \rho(z + \delta z) \) 等于其势密度 \( \rho_\theta(z + \delta z) \)，这等于 \( \tilde{\rho}(z) \)。因此，在 \( z + \delta z \) 处，环境具有原位密度等于 \( \tilde{\rho}(z + \delta z) \)，而微团具有原位密度等于 \( \rho_\theta(z) \)。

将这一切整合到单个方程中，微团和其环境在 \( z + \delta z \) 处的密度差异由下式给出：

\[ \delta \rho = \rho(z + \delta z) - \tilde{\rho}(z + \delta z) = \rho_\theta(z + \delta z) - \tilde{\rho}(z + \delta z) \]

因此：

\[ \delta \rho = -\frac{\partial \tilde{\rho}_\theta}{\partial z} \delta z \]

右侧的导数是环境中势密度在垂直方向的梯度。如果右侧为正，微团比其周围环境更重，位移是稳定的。因此：

稳定性条件： \[ \frac{\partial \tilde{\rho}_\theta}{\partial z} < 0, \] 不稳定性条件： \[ \frac{\partial \tilde{\rho}_\theta}{\partial z} > 0. \]

流体微团的运动方程由牛顿第二定律直接应用得出，即质量乘以加速度等于作用在微团上的力。这个力等于 \( g \) 乘以上述推导的浮力差异，因此：

\[ \frac{\partial^2 \delta z}{\partial t^2} = \frac{g}{\rho} \left(\frac{\partial \tilde{\rho}_\theta}{\partial z}\right) \delta z = -N^2 \delta z, \]

其中：

\[ N^2 = -\frac{g}{\tilde{\rho}_\theta} \left(\frac{\partial \tilde{\rho}_\theta}{\partial z}\right) \]

一个在稳定分层流体中被位移的微团将以频率 \( N \) 振荡，这被称为浮力频率或布伦特-维萨拉频率，以其发现者命名。上述浮力频率表达式是通用的，适用于恒定重力场中的液体和气体。

量 \( \tilde{\rho}_\theta \) 是环境的局部参考势密度。对于大气层，参考水平并不重要，但对于海洋，特别是在存在盐度的情况下，它很重要：在相同水平面上，具有相同原位密度的微团可能具有不同的势密度。如果淡水进入冷却环境，水蒸气可能凝结，释放更多热量，导致更多上升；因此，大气可能不稳定，而海洋可能稳定。

3.4.2 气态大气层

浮力频率

在大气中，位势密度与位温有关，关系为：

\[ \rho_\theta = \rho_{R}(\theta / \theta_R) \]

其中，\(\rho_R\) 是位温的参考水平。

将此表达式代入(3.55)式，得到：

\[ N^2 = \frac{g}{\bar{\theta}} \left(\frac{\partial \bar{\theta}}{\partial z}\right) \]

(3.56)

这里，\(\bar{\theta}\) 指的是位温的环境剖面。参考值 \(\rho_R\) 不会显现，因此我们可以任意选择这个值——表面气压是一个常见选择。(3.53)的稳定性条件对应于 \(N^2 > 0\) 为稳定，\(N^2 < 0\) 为不稳定。

平均而言，大气是稳定的。在对流层（大气的最低几公里），平均 \(N\) 大约为 \(0.01 \, s^{-1}\)，相应的周期（\(2\pi / N\)）约为10分钟。在平流层（位于对流层之上），\(N^2\) 通常是这个值的几倍。

干绝热线率

在垂直方向上（实际）温度的变化率被称为温度递减率，或简称为递减率，记为 \( \Gamma \)。

当 \(\partial \theta / \partial z = 0\) 时，相应的递减率称为干绝热线率，记为 \(\Gamma_d\)。

使用 \(\theta = T(p_0 / p)^{R / c_p}\) 和 \(\partial p / \partial z = -\rho g\)，我们发现递减率与位温递减率的关系为：

\[ T \frac{\partial \theta}{\partial z} = \frac{\partial T}{\partial z} + \frac{g}{c_p} \]

(3.57)

因此，干绝热线率由以下公式给出：

\[ \Gamma_d = \frac{g}{c_p} \]

(3.58)

静力稳定性条件

与(3.53)对应的静力稳定性条件如下：

稳定性：	\(\frac{\partial \bar{\theta}}{\partial z} > 0\)	或	\(\frac{\partial T}{\partial z} < \Gamma_d\)
不稳定性：	\(\frac{\partial \bar{\theta}}{\partial z} < 0\)	或	\(\frac{\partial T}{\partial z} > \Gamma_d\)

(3.59a,b)

在地球大气中，观察到的递减率 \(\Gamma\) 通常小于 \(6 \, K \, km^{-1}\)，而干绝热线率约为 \(10 \, K \, km^{-1}\)。

为什么存在这种差异？为什么大气看起来如此稳定？

一个原因是大气中含有水汽。如果湿空气包上升，它进入更冷的环境中，水汽可能凝结并释放更多的热量，导致更多的上升运动。因此，湿绝热线率远小于干绝热线率。

我们将在第11章中对这一现象进行更详细的探讨。

3.4.3 液态海洋

在海洋中，由于状态方程的复杂性，没有简单、准确的解析表达式可以用来计算静力稳定性。

然而，我们可以得到一个近似表达式，捕捉主要的影响。在绝热位移下：

\[ \delta \rho_\theta = \delta \rho - \frac{1}{c_s^2} \delta p = 0 \]

(3.60)

如果流体处于静力平衡状态，\(\delta p = -\rho g \delta z\)，则密度的变化可以表示为：

\[ \left(\frac{\partial \rho}{\partial z}\right)_{\rho_\theta} = -\frac{\rho g}{c_s^2} \]

(3.61)

如果一个小包裹向上位移 \(\delta z\)，它与新环境之间的密度差异为：

\[ \delta \rho = -\left[\left(\frac{\partial \rho}{\partial z}\right)_{\rho_\theta} - \left(\frac{\partial \bar{\rho}}{\partial z}\right)\right] \delta z = \left[\frac{\rho g}{c_s^2} + \left(\frac{\partial \bar{\rho}}{\partial z}\right)\right] \delta z \]

(3.62)

因此，层结的稳定性由以下表达式给出：

\[ N^2 = -g \left[\frac{g}{c_s^2} + \frac{1}{\bar{\rho}} \left(\frac{\partial \bar{\rho}}{\partial z}\right)\right] \]

(3.63)

该表达式适用于液体和气体，对于理想气体，它与(3.56)相同。

在海洋中，\(\frac{g}{c_s^2}\) 的因子较小但不可忽略。

总之，只有当密度随深度的增加速度超过位势密度梯度的增加时，剖面才是稳定的。

注释与参考文献

地球物理流体动力学的两本经典教材分别是Gill (1982) 和Pedlosky (1987a)。

Cushman-Roisin & Beckers (2011) 的著作也包含一些数值方法相关内容。

第4章 浅水方程

浅水方程 是一组描述流体层运动的方程，顾名思义，这是一层较浅的流体，特别是在静水压力平衡状态下，且密度恒定。这些方程有两个重要原因：

1. 它们比完整的三维方程更简单，因此可以更直接地分析一些有时较复杂的问题。
2. 尽管它们很简单，但这些方程提供了对大气和海洋动力学中各种现象的合理逼真表述。

简而言之，浅水方程是地球物理流体动力学中一个非常有用的模型。让我们深入探讨这些方程，看看它们能为我们做些什么。

4.1 浅水运动方程

根据定义，浅水方程适用于一层密度恒定的流体，其水平尺度远大于层深，并且顶部（或有时底部）具有自由表面。由于流体密度恒定，流体运动完全由动量方程和质量连续性方程决定，并且由于假设的小纵横比，静水近似得到了很好的满足（如3.2.2节所讨论的那样）。

因此，考虑上层是一个密度可以忽略的流体，如图4.1所示。我们的符号约定如下：

• v = uî + vĵ + wk̂ 表示三维速度。
• u = uî + vĵ 表示水平速度。
• h(x, y) 是液柱的厚度。
• H 是其平均高度。
• η 是自由表面的高度。
• 在平底容器中，η = h，而在一般情况下，h = η − η_B，其中 η_B 是容器底部的高度。

4.1.1 动量方程

垂向动量方程是静水压力方程：

\[ \frac{\partial p}{\partial z} = -\rho_0 g, \quad (4.1) \]

由于假设密度恒定，我们可以将其积分得到：

\[ \rho(x, y, z, t) = -\rho_0 g z + p_0. \quad (4.2) \]

在流体顶部，z = η，压力由上覆流体的重量决定，可以忽略。因此，当 z = η 时，p = 0，得到：

\[ \rho(x, y, z, t) = \rho_0 g (\eta(x, y, t) - z). \quad (4.3) \]

因此，压力的水平梯度与高度无关，即：

\[ \nabla_z p = \rho_0 g \nabla_z \eta, \quad \text{其中} \quad \nabla_z = \hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y}. \quad (4.4) \]

在本章的其余部分，如果不会引起歧义，我们将省略下标 z，并使用笛卡尔坐标表示三维梯度算子 ∇。水平动量方程因此变为：

\[ \frac{D u}{D t} = -\frac{1}{\rho_0} \nabla p = -g \nabla \eta. \quad (4.5) \]

该方程的右侧与垂直坐标 z 无关。因此，如果流动在初始状态下与 z 无关，它必须保持如此（这种情况与快速旋转引起的 Taylor–Proudman效应 相关）。水平速度 u 和 v 仅为 (x, y, t) 的函数，因此水平动量方程为：

\[ \frac{D u}{D t} = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = -g \nabla \eta. \quad (4.6) \]

在存在旋转的情况下，(4.6) 可推广为：

\[ \frac{D u}{D t} + f \times u = -g \nabla \eta. \quad (4.7) \]

其中，f = f \hat{k}。与完整的三维方程一样，f 可以是常数，也可以随纬度变化，因此在球形地球上，f = 2\Omega \sin \theta，在β平面上，f = f_0 + \beta y。

4.1.2 质量连续性方程

具有高度 h 和横截面积 A 的液柱所包含的质量由下式给出：

\[ F_m = \text{质量通量} = - \iint_S \rho_0 u \cdot dS. \quad (4.8) \]

其中，S 是液柱垂直边界的表面积，表面积由 h n δl 的元素组成，其中 δl 是包围柱体的线元素，n 是垂直于边界指向外部的单位向量。因此，(4.8) 变为：

\[ F_m = - \oint \rho_0 h u \cdot n d l. \quad (4.9) \]

使用二维散度定理，(4.9) 简化为：

\[ F_m = - \iint_A \nabla \cdot (\rho_0 u h) dA. \quad (4.10) \]

其中积分在液柱的横截面积 A 上进行。这与水柱高度的局部增加平衡，表示为：

\[ F_m = \frac{d}{dt} \iint_A \rho_0 dV = \frac{d}{dt} \iint_A \rho_0 h dA = \iint_A \rho_0 \frac{\partial h}{\partial t} dA. \quad (4.11) \]

至此，浅水方程的基础方程已经建立。

浅水方程

对于单层流体，并包括科里奥利项，无粘性浅水方程为：

动量方程

\[ \frac{Du}{Dt} + f \times u = -g \nabla \eta, \quad (\text{SW.1}) \]

质量连续性方程

\[ \frac{Dh}{Dt} + h \nabla \cdot u = 0, \quad (\text{SW.2}) \]

\[ \frac{\partial h}{\partial t} + \nabla \cdot (hu) = 0, \quad (\text{SW.3}) \]

其中，\( u \) 是水平速度，\( h \) 是总流体厚度，\( \eta \) 是上部自由表面的高度，\( h \) 和 \( \eta \) 的关系为：

\[ h(x, y, t) = \eta(x, y, t) - \eta_B(x, y), \quad (\text{SW.4}) \]

其中，\( \eta_B \) 是下表面的高度（底部地形）。

物质导数

\[ \frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + u \cdot \nabla = \frac{\partial}{\partial t} + u \frac{\partial}{\partial x} + v \frac{\partial}{\partial y}, \quad (\text{SW.5}) \]

最右边的表达式在笛卡尔坐标系中成立。

4.1.3 简化重力方程

现在考虑一个单独的浅层流体，位于一个深层、几乎静止的流体层之上（见图4.3），并在一个惯性可以忽略的流体层之下。这种配置通常用作上层海洋的模型：上层代表海洋的上部几百米的流动，而下层则是几乎静止的深海深渊。如果将该模型颠倒，我们可以得到一个稍微不太真实的大气模型，其中下层代表平流层以上对流层的运动。

上层的压力通过从上表面向下积分静力平衡方程给出。因此，在上层高度 z 处，有：

$$ p_1(z) = g\rho_1(\eta_0 - z), \quad (4.14) $$

其中，η₀ 是上表面的高度。因此，在上层的任何位置，都有：

$$ \frac{1}{\rho_1} \nabla p_1 = g \nabla \eta_0. \quad (4.15) $$

动量方程为：

$$ \frac{Du}{Dt} + f \times u = -g \nabla \eta_0. \quad (4.16) $$

在下层，压力同样由上方流体的重量决定。因此，在下层的某个水平面 z 处，有：

$$ p_2(z) = \rho_1 g (\eta_0 - \eta_1) + \rho_2 g (\eta_1 - z). \quad (4.17) $$

但如果这一层是静止的，那么其中的水平压强梯度为零，因此：

$$ \rho_1 g \eta_0 = -\rho_1 g' \eta_1 + \text{constant}, \quad (4.18) $$

其中，g' 是有效重力，由下式定义：

$$ g' = g \frac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_1}. $$

在海洋中，ρ₂ - ρ₁ 相对于 ρ 很小，因此 g' 远小于 g。动量方程变为：

$$ \frac{Du}{Dt} + f \times u = g' \nabla \eta_1. \quad (4.19) $$

方程通过通常的质量守恒方程得到补充：

$$ \frac{Dh}{Dt} + h \nabla \cdot u = 0. \quad (4.20) $$

其中 h = η₀ - η₁。由于 g \gg g'，方程 (4.18) 表明，表面位移远小于内部界面处的位移。在真实的海洋中，平均内部等密度位移可能有几十米，但海洋表面平均高度的变化大约在厘米量级。

4.2 保守性质

在流体中，有两种常见的守恒性质：(i) 物质不变量；(ii) 积分不变量。当某个属性（例如 φ）在每个流体单元上保持守恒时，称为物质不变量，并满足方程：\( \frac{Dφ}{Dt} = 0 \)。积分不变量是指在某个封闭体积（通常是封闭的）上进行积分后，该性质保持守恒，例如能量。浅水方程的简单性使我们能够清晰地看到这些性质是如何产生的。

4.2.1 能量守恒：一个积分不变量

在推导浅水系统时，我们进行了多种简化，因此能量是否应该守恒，或者能量以何种形式存在并不显而易见。动能密度（KE）表示每单位面积的动能，为 \( \frac{ρ_0 h u^2}{2} \)。势能密度（PE）为：

\[ PE = \int_0^h ρ_0 g z \, dz = \frac{1}{2} ρ_0 g h^2. \] (4.21)

因子 \( ρ_0 \) 同时出现在动能和势能中，由于它是常数，我们将忽略它。为了代数上的简便性，我们假设底面是平坦的，\( z = 0 \)。

利用质量守恒方程 (4.13b)，我们得到势能密度演化方程：

\[ \frac{D}{Dt} \frac{g h^2}{2} + g h^2 \nabla \cdot u = 0, \] (4.22a)

或

\[ \frac{\partial}{\partial t} \frac{g h^2}{2} + \nabla \cdot \left(u \frac{g h^2}{2}\right) + \frac{g h^2}{2} \nabla \cdot u = 0. \] (4.22b)

从动量和质量连续性方程中，我们得到动能密度的演化方程：

\[ \frac{D}{Dt} \frac{h u^2}{2} + u^2 h \nabla \cdot u = -g u \cdot \nabla \frac{h^2}{2}, \] (4.23a)

或

\[ \frac{\partial}{\partial t} \frac{h u^2}{2} + \nabla \cdot \left(u \frac{h u^2}{2}\right) + g u \cdot \nabla \frac{h^2}{2} = 0. \] (4.23b)

将(4.22b)和(4.23b)相加，我们得到：

\[ \frac{\partial}{\partial t} \frac{1}{2} (h u^2 + g h^2) + \nabla \cdot \left(\frac{1}{2} u (g h^2 + h u^2 + g h^2)\right) = 0. \] (4.24)

或

\[ \frac{\partial E}{\partial t} + \nabla \cdot F = 0, \] (4.25)

其中 \( E = KE + PE = \frac{h u^2 + g h^2}{2} \) 是总能量密度，\( F = u \left(\frac{h u^2}{2} + g h^2\right) \) 是能量通量。如果流体被限制在一个由刚性墙壁包围的区域内，并且速度的法向分量消失，那么通过对(4.24)在该区域上积分，并使用高斯定理，总能量被证明是守恒的，即：

\[ \frac{d E}{d t} = \frac{1}{2} \frac{d}{d t} \int_A (h u^2 + g h^2) \, dA = 0. \] (4.26)

4.2.2 潜在涡度：一个物质不变量

流体的涡度，记为 \( \omega \)，被定义为速度场的旋度。我们还定义浅水涡度 \( \omega^* \)，它是水平速度的旋度。因此我们有：

\[ \omega \equiv \nabla \times v, \quad \omega^* \equiv \nabla \times u. \] (4.27)

由于 \( \partial u / \partial z = \partial v / \partial z = 0 \)，因此 \( \omega^* \) 的唯一非零分量是垂直分量：

\[ \omega^* = \hat{k} \left(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\right) = \hat{k} \zeta. \] (4.28)

首先考虑非旋转情况，使用矢量恒等式：

\[ (u \cdot \nabla) u = \frac{1}{2} \nabla (u \cdot u) - u \times (\nabla \times u), \] (4.29)

我们将动量方程 (4.7) 写成：

\[ \frac{\partial u}{\partial t} + \omega^* \times u + f \times u = -\nabla \left(g \eta + \frac{1}{2} u^2\right). \] (4.30)

取(4.30)的旋度，我们得到：

\[ \frac{D}{Dt} (\zeta + f) = - (\zeta + f) \nabla \cdot u. \] (4.33)

质量守恒方程(4.13b)可以写成：

\[ - (\zeta + f) \nabla \cdot u = \frac{\zeta + f}{h} \frac{Dh}{Dt}, \] (4.34)

结合以上方程我们得到：

\[ \frac{D}{Dt} (\zeta + f) = \frac{\zeta + f}{h} \frac{Dh}{Dt}. \] (4.35)

这等价于：

\[ \frac{DQ}{Dt} = 0, \quad Q = \left(\frac{\zeta + f}{h}\right). \] (4.36)

重要的量 \( Q \) 称为潜在涡度，(4.36) 是潜在涡度方程。

4.3 浅水波

现在我们来看发生在浅水中的重力波。为了提炼其本质，我们考虑一个单层流体层，底部是平坦的，上层是自由的表面，其中重力提供了唯一的恢复力。

4.3.1 非旋转浅水波

假设底部是平坦的，流体厚度等于自由表面位移（图 4.1），并将流体的基本静止状态设为：

\[ h(x, y, t) = H + h'(x, y, t) = H + \eta'(x, y, t) \quad (4.37a) \]

\[ u(x, y, t) = u'(x, y, t) \quad (4.37b) \]

质量守恒方程 (4.13b) 变为：

\[ \frac{\partial \eta'}{\partial t} + (H + \eta') \nabla \cdot u' + u' \cdot \nabla \eta' = 0 \quad (4.38) \]

忽略小量的平方项，这会得到线性方程：

\[ \frac{\partial \eta'}{\partial t} + H \nabla \cdot u' = 0 \quad (4.39) \]

类似地，将动量方程 (4.7) 线性化，并假设 \( f = 0 \)，得到：

\[ \frac{\partial u'}{\partial t} = -g \nabla \eta' \quad (4.40) \]

通过对 (4.39) 进行时间求导并取 (4.40) 的散度，可以得到：

\[ \frac{\partial^2 \eta'}{\partial t^2} - g H \nabla^2 \eta' = 0 \quad (4.41) \]

这是一个波动方程。我们可以通过代入试探解来找到色散关系：

\[ \eta' = Re \left[ \eta_0 e^{i(kx - \omega t)} \right] \quad (4.42) \]

其中 \( \eta_0 \) 是一个复常数，\( k = k \mathbf{i} + l \mathbf{j} \) 是水平波数向量，\( Re \) 表示取解的实部。简化为单维问题，假设 y 方向没有变化，代入 (4.41) 可得色散关系：

\[ \omega = \pm ck, \quad c = \sqrt{g H} \quad (4.43) \]

即波速与平均流体深度的平方根成正比，并且与波数无关，表明波是无色散的。一般解为：

\[ \eta'(x, t) = \frac{1}{2} \left[ F(x - ct) + F(x + ct) \right] \quad (4.44) \]

其中 \( F(x) \) 是 t = 0 时的高度场。从中可以很容易看出初始扰动的形态在传播过程中得以保留。

4.3.2 旋转浅水波（庞加莱波）

我们现在考虑旋转对浅水波的影响。对旋转平底 \( f \)-平面浅水方程（SW.1）和（SW.2）进行线性化，静止状态如下：

\[ \frac{\partial u'}{\partial t} - f_0 v' = -g \frac{\partial \eta'}{\partial x}, \quad \frac{\partial v'}{\partial t} + f_0 u' = -g \frac{\partial \eta'}{\partial y} \quad (4.45a,b) \]

\[ \frac{\partial \eta'}{\partial t} + H \left( \frac{\partial u'}{\partial x} + \frac{\partial v'}{\partial y} \right) = 0 \quad (4.45c) \]

为了得到色散关系，我们假设：

\[ (u, v, \eta) = (\bar{u}, \bar{v}, \bar{\eta}) e^{i(kx - \omega t)} \quad (4.46) \]

代入 (4.45)，得到矩阵形式：

\[ \begin{vmatrix} -i \omega & -f_0 & i g k \\ f_0 & -i \omega & i g l \\ i H k & i H l & -i \omega \end{vmatrix} = 0 \quad (4.47) \]

只有当矩阵的行列式为零时，此方程才有非平凡解。因此可得：

\[ \omega (\omega^2 - f_0^2 - c^2 K^2) = 0 \quad (4.48) \]

其中 \( K^2 = k^2 + l^2 \) 和 \( c^2 = g H \)。该方程有两类解：

\[ \omega^2 = f_0^2 + c^2 (k^2 + l^2) \quad (4.49) \]

\[ \omega^2 = f_0^2 + g H (k^2 + l^2) \quad (4.50) \]

这些波被称为庞加莱波，其色散关系由上式给出。注意，频率总是大于科里奥利频率 \( f_0 \)。

短波极限

如果：

\[ K^2 \gg \frac{f_0^2}{g H}, \quad L_d = \frac{\sqrt{g H}}{f} \quad (4.51, 4.52) \]

长波极限

如果：

\[ K^2 \ll \frac{f_0^2}{g H}, \quad \omega = f_0 \quad (4.53, 4.54) \]

这些波被称为惯性振荡，其运动方程为：

\[ \frac{\partial u'}{\partial t} - f_0 v' = 0, \quad \frac{\partial v'}{\partial t} + f_0 u' = 0 \quad (4.55) \]

4.3.3 开尔文波

开尔文波是一种特殊的重力波，它存在于旋转效应和侧边边界的共同作用下。假设在 y = 0 处有一堵固体墙。在 y 方向上的一般谐波解是不被允许的，因为它们无法满足边界上无法流动的条件。那么，是否存在满足条件的波浪解呢？答案是肯定的。

为了验证这一点，我们从线性化的浅水方程开始，具体如下：

动量方程： \[ \frac{\partial u'}{\partial t} - f_0 v' = -g \frac{\partial \eta'}{\partial x}, \quad \frac{\partial v'}{\partial t} + f_0 u' = -g \frac{\partial \eta'}{\partial y}, \]

质量连续性方程： \[ \frac{\partial \eta'}{\partial t} + H \left( \frac{\partial u'}{\partial x} + \frac{\partial v'}{\partial y} \right) = 0. \]

事实上，当 \( v' = 0 \) 在 \( y = 0 \) 处时，这表明我们要寻找一个解，其中 \( v' = 0 \) 在所有地方都是成立的。因此，这些方程变为：

\[ \frac{\partial u'}{\partial t} = -g \frac{\partial \eta'}{\partial x}, \quad f_0 u' = -g \frac{\partial \eta'}{\partial y}, \quad \frac{\partial \eta'}{\partial t} + H \frac{\partial u'}{\partial x} = 0. \]

方程 (4.57a) 和 (4.57c) 可以导出一个标准的波动方程： \[ \frac{\partial^2 u'}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u'}{\partial x^2}, \]

其中 \( c = \sqrt{gH} \) 是浅水波的常规波速。方程 (4.58) 的解为： \[ u' = F_1(x + ct, y) + F_2(x - ct, y), \]

对应的自由表面位移为： \[ \eta' = \sqrt{\frac{H}{g}} \left[-F_1(x + ct, y) + F_2(x - ct, y)\right]. \]

该解表示两个波的叠加：一个波（\( F_1 \)）沿负 \( x \) 方向传播，另一个波（\( F_2 \)）沿正 \( x \) 方向传播。

为了得到这些函数在 \( y \) 方向的依赖性，我们使用方程 (4.57b)，得到： \[ \frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{f_0}{\sqrt{gH}} F_1, \quad \frac{\partial F_2}{\partial y} = -\frac{f_0}{\sqrt{gH}} F_2, \]

解为： \[ F_1 = F(x + ct) e^{y / L_d}, \quad F_2 = G(x - ct) e^{-y / L_d}, \]

其中 \( L_d = \frac{\sqrt{gH}}{f_0} \) 是变形半径。如果我们考虑在 \( y > 0 \) 的半平面中流动，那么对于正的 \( f_0 \) ，解 \( F_1 \) 会在远离墙壁时呈指数增长，因此不满足无穷远处的有界性条件，必须将其排除，得到一般解：

\[ u' = e^{-y / L_d} G(x - ct), \quad v' = 0, \] \[ \eta' = \sqrt{\frac{H}{g}} e^{-y / L_d} G(x - ct). \]

这些就是开尔文波，它们在远离边界时呈指数衰减。一般来说，对于正的 \( f_0 \)，边界位于波传播方向的右侧；对于负的 \( f_0 \)，边界位于波传播方向的左侧。在恒定的科里奥利参数下，我们还可以在子午墙上得到解，同样开尔文波会沿着墙向东传播，并在两侧衰减，如图 4.5 所示。

4.4 地转调整

地转平衡发生在浅水方程中，当罗盘数 \( U / fL \) 很小时，科里奥利项主导动量方程中的平流项时。在单层浅水方程中，地转流满足： \[ f \times u_g = -g \nabla \eta. \]

因此，地转速度与表面斜率成正比。这个结果是由于静力平衡，界面表面的斜率直接与两侧压力梯度的差异相关，因此在地转平衡中，速度与斜率成比例。

然而，更普遍的问题是：为什么大气和海洋接近地转平衡？ 假设初始状态不平衡，存在小尺度运动和剧烈的压力梯度。系统将如何演化？事实证明，所有这些剧烈的梯度都会辐射出去，留下一个地转平衡状态。这个过程被称为地转调整，它在旋转流体中普遍发生，无论是分层的还是非分层的。浅水方程是一组理想的方程，用于探索这个过程。

4.4 地转平衡调整

地转平衡发生在浅水方程中，当罗斯贝数 \( U / fL \) 较小且科里奥利项在动量方程中占主导地位时。对于单层浅水方程，地转流动可以表示为：

\[ f \times u_g = -g \nabla \eta. \]

(4.64)

因此，地转速度与表面坡度成正比，如图4.6所示。该结果产生的原因是，由于静力平衡，界面表面的坡度直接与两侧的压强梯度差异相关，因此在地转平衡中，速度与坡度有关。

但是，考虑一个更普遍的问题：为什么大气和海洋接近地转平衡？ 假设初始状态明显不平衡，存在小尺度运动和显著的压强梯度。系统将如何演变？事实证明，这些急剧的梯度将逐渐消散，最终留下一个地转平衡的状态。这个过程称为地转调整，它普遍存在于旋转流体中，无论是分层的还是非分层的。浅水方程是一套理想的方程组，用于探索这一过程，正如我们将看到的那样。

4.4.1 提出问题

我们考虑一个单层浅水层流体的自由演化，其初始状态明显不平衡，并假设表面位移较小，因此系统的演化可以由线性化的浅水运动方程描述。这些方程为：

\[ \frac{\partial u}{\partial t} + f \times u = -g \nabla \eta, \]

\[ \frac{\partial \eta}{\partial t} + H \nabla \cdot u = 0, \]

(4.65a,b)

其中，\(\eta\) 是自由表面的位移，\(H\) 是平均流体深度，我们在线性化变量上省略了撇号。

4.4.2 非旋转流动

我们首先考虑非旋转问题集，在一维情况下，几乎没有普遍性损失。我们假设最初流体处于静止状态，但高度场存在简单的不连续性，因此：

\[ \eta(x, t = 0) = \begin{cases} +\eta_0, & x < 0, \\ -\eta_0, & x > 0. \end{cases} \]

(4.66)

并且 \( u(x, t = 0) = 0 \) 在所有位置都成立。我们可以通过物理方式实现这些初始条件，将两块不同深度的流体质量用一堵薄墙隔开，然后迅速移除墙壁。流体的后续演化是什么？线性问题的一般解由方程 (4.44) 给出，其中函数形式由初始条件决定，因此：

\[ F(x) = \eta(x, t = 0) = -\eta_0 \operatorname{sgn}(x). \]

(4.67)

方程 (4.44) 表明，这个初始模式以速度 \( c = \sqrt{gH} \) 向右和向左传播。具体解为：

\[ \eta(x, t) = -\frac{1}{2} \eta_0 \left[\operatorname{sgn}(x + ct) + \operatorname{sgn}(x - ct)\right]. \]

(4.68)

初始条件可能比简单的前沿要复杂得多，但由于波是无色散的，解仍然只是一个简单的叠加。

4.4.3 旋转流动

旋转对浅水系统的调整问题产生了深远的影响，因为一个稳定、平衡的解可以存在于高度场中存在非零梯度的情况下——相关的压强梯度由科里奥利力平衡，并且势涡度守恒为流体演化提供了强大的约束。

在旋转情况下，这种现象与非旋转情况有显著差异，特别是在时间和空间尺度上，地转效应和势涡度约束共同塑造了流体的演化过程。

4.4.4 速度场的演化

在这种情况下，速度场的演化可以通过以下方程描述：

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = -g \frac{\partial \eta}{\partial x}, \]

(4.69)

由此得到：

\[ u = -\frac{g}{2c} \left[F(x + ct) - F(x - ct)\right]. \]

(4.70)

考虑初始条件由 (4.66) 给出。在距离初始扰动较远的某个位置，流体保持静止，直到前沿到达。前沿通过后，流体表面再次保持静止，速度均匀且非零。具体表现为：

\[ \eta = \begin{cases} -\eta_0 \operatorname{sgn}(x), & |x| > ct,\\ 0, & |x| < ct. \end{cases} \]

\[ u = \begin{cases} 0, & |x| > ct,\\ \frac{\eta_0 g}{c}, & |x| < ct. \end{cases} \]

(4.71)

具有高度场不连续性和零初始速度的解在图4.7的右侧面板中进行了说明。前沿从不连续性向两个方向传播，在这种情况下，最终速度以及流体位移均为零。也就是说，扰动被完全辐射掉。

以上是关于地转调整和非旋转、旋转流动情况下的浅水系统演化的详细描述。

4.4.3 旋转流动

旋转对浅水系统的调整问题产生深远影响，因为在高度场中存在非零梯度的情况下，可以存在稳定的调整解 —— 相关的压力梯度由科里奥利力平衡，而位涡守恒为流体演化提供了强大的约束。

在这种情况下，流体的守恒可以表示为：

\[ \frac{\partial Q}{\partial t} + u \cdot \nabla Q = 0, \quad (4.72) \]

其中 \(Q = (\zeta + f) / H\)。在常数科里奥利参数的线性情况下，(4.72)变为：

\[ \frac{\partial q}{\partial t} = 0, \quad q = (\zeta - f_0 \frac{\eta}{H}). \quad (4.73) \]

将初始条件带入，位涡守恒得出：

\[ q(x, y) = \begin{cases} -f_0 \eta_0 / H, & x < 0, \\ f_0 \eta_0 / H, & x > 0. \end{cases} \quad (4.75) \]

这一状态在整个调整过程中保持不变。最终的稳态解为：

\[ \zeta - f_0 \frac{\eta}{H} = q(x, y), \quad f_0 u = -g \frac{\partial \eta}{\partial y}, \quad f_0 v = g \frac{\partial \eta}{\partial x}. \quad (4.76a,b,c) \]

将这些方程化简得到：

\[ \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{1}{L_d^2}\right) \psi = \frac{f_0 \eta_0}{H} \text{sgn}(x). \quad (4.78) \]

解析解为：

\[ \psi = \begin{cases} -\frac{g \eta_0}{f_0} (1 - e^{-x / L_d}), & x > 0, \\ \frac{g \eta_0}{f_0} (1 - e^{x / L_d}), & x < 0. \end{cases} \quad (4.79) \]

相应的速度场为：

\[ u = 0, \quad v = -\frac{g \eta_0}{f_0 L_d} e^{-|x| / L_d}. \quad (4.80) \]

这个过程称为地转调整，其特性由位涡守恒和变形半径 \(L_d\) 决定。

锋面以速度 \( \sqrt{gH} = 1 \) 向外传播，就像在非旋转情况下那样，但在旋转流中，它们留下了一个具有非零子午线速度的地转平衡状态。

4.5 一种关于调整的变分视角

在非旋转问题中，所有初始势能最终都会辐射到无限远处。在旋转问题中，最终状态同时包含势能和动能，这些能量大多被困在初始扰动的变形半径内，因为对流守恒使得所有能量无法完全分散。这表明，从一个变分问题的角度来看地转调整问题可能会更具启发性：我们试图在保持势涡度守恒的前提下最小化能量。我们停留在线性近似中，因为忽略了势涡度的平流效应，因此势涡度在每个点保持恒定。

流动的能量 \( \hat{E} \) 由势能和动能之和给出，具体如下：

\[ \hat{E} = \int (H u^2 + g \eta^2) \, dA, \]

（其中 \( dA = dx \, dy \)），而势涡度场为：

\[ q = \zeta - f_0 \frac{\eta}{H} = (v_x - u_y) - f_0 \frac{\eta}{H}, \]

其中下标 \( x \) 和 \( y \) 表示导数。该问题是要在保持势涡度守恒的约束下极小化能量。这是一个受限变分法问题，有时也被称为等周问题，因为它起源于在给定周长下最大化表面积。

数学问题是极小化以下积分：

\[ I = \int \left\{ H(u^2 + v^2) + g \eta^2 + \lambda(x, y) \left[ (v_x - u_y) - f_0 \frac{\eta}{H} \right] \right\} dA, \]

其中 \( \lambda(x, y) \) 是一个拉格朗日乘子，此阶段下尚未确定。它是一个空间函数：如果它是一个常数，积分只会在给定势涡度积分的条件下极小化，并重新排列势涡度的分布（在这里我们希望避免）将保持积分不变。

由于有三个独立变量，需要求解三个欧拉-拉格朗日方程，以使 \( I \) 最小化。这些方程为：

\[ \frac{\partial L}{\partial \eta} - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial L}{\partial \eta_x} - \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial L}{\partial \eta_y} = 0, \]

\[ \frac{\partial L}{\partial u} - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial L}{\partial u_x} - \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial L}{\partial u_y} = 0, \]

\[ \frac{\partial L}{\partial v} - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial L}{\partial v_x} - \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial L}{\partial v_y} = 0. \]

其中 \( L \) 是积分的被积函数，将 \( L \) 的表达式代入上述方程后，经过一些代数变换，得到：

\[ 2g \eta - \frac{\lambda f_0}{H} = 0, \]

\[ 2Hu + \frac{\partial \lambda}{\partial y} = 0, \]

\[ 2Hv - \frac{\partial \lambda}{\partial x} = 0. \]

消去 \( \lambda \) 后，得到简单的关系：

\[ u = -\frac{g}{f_0} \frac{\partial \eta}{\partial y}, \quad v = \frac{g}{f_0} \frac{\partial \eta}{\partial x}. \]

这些就是地转平衡方程！因此，在线性近似下，地转平衡是给定势涡度场下的最小能量状态。

注释与参考文献

浅水方程有时被称为圣维南方程，以阿德马尔·让·克劳德·巴雷·德·圣维南（1797–1886）的名字命名，他在1871年写下了这些方程的一种形式。皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（1749–1825）此前在球面上写下了这些方程的线性版本，现在被称为拉普拉斯潮汐方程，在1776年。人们不会感到惊讶，甚至欧拉在那之前就已经知道这些方程。

第5章 地转理论

地转平衡与静力平衡 是气象学和海洋学中两个主要的平衡。在本章中，我们利用这些平衡推导出各种简化的方程组。完整的方程组问题在于它们过于完整，包含了我们并不总是关心的运动——例如声波和重力波。如果我们从一开始就能够消除这些模式，那么我们通往理解的道路就不会布满障碍。

我们的具体目标是推导出各种“地转方程”，特别是行星地转方程和准地转方程，利用地转平衡和静力平衡密切相关的事实。我们首先对浅水方程进行推导，然后再对分层的三维方程进行推导。我们将使用布辛涅斯克方程，但在压力坐标下的推导将非常相似。底部地形 η_B 在下面的推导中可能是一个不必要的复杂因素，读者可能希望通过设定 η_B = 0 来简化。

5.1 缩放浅水方程

为了简化运动方程，我们首先对它们进行缩放——选择我们希望描述的尺度，然后确定方程中各项的近似大小。接着，我们消去小量项，推导出一组比原始方程更简单但能一致地描述所选尺度运动的方程。除少数例外，我们将用大写字母表示变量的尺度。因此，如果 L 是我们希望描述的运动的典型长度尺度，U 是典型的速度尺度，则：

\[ (x, y) \sim L \quad \text{或} \quad (x, y) = O(L), \\ (u, v) \sim U \quad \text{或} \quad (u, v) = O(U). \]

其他方程中的变量也类似地进行缩放。

接下来，我们将运动方程写成无量纲形式，将变量写为：

\[ (x, y) = L(\hat{x}, \hat{y}), \quad (u, v) = U(\hat{u}, \hat{v}). \]

其中带帽的变量是无量纲的，并且假设为 \(O(1)\)。动量方程中的各项按如下方式缩放：

\[ \frac{\partial u}{\partial t} + u \cdot \nabla u + f \times u = -g \nabla \eta, \]

\[ \frac{U}{T} \quad \frac{U^2}{L} \quad fU \quad \frac{gH}{L}. \]

其中，\(\nabla\) 运算符作用于 \(x-y\) 平面，\(\mathcal{H}\) 是表面位移幅度。我们选择“平流尺度”，这意味着 \(T = L/U\) 且 \(t = tL/U\)，时间导数的尺度与平流相同。动量方程中平流项与旋转项的比值为 \(U / fL\)，这就是我们之前遇到的罗斯贝数。

我们感兴趣的是罗斯贝数较小的流动，在这种情况下，科氏力项在很大程度上由压力梯度平衡。从上式可以得出，\(\eta\) 的变化按如下方式缩放：

\[ \mathcal{H} = \frac{fUL}{g} = Ro \frac{fL^2}{g} = Ro H \frac{L^2}{L_d^2}. \]

其中 \(L_d = \sqrt{gH}/f\) 是变形半径，\(H\) 是流体的平均深度。流体高度的变化与总流体高度的比值按如下方式缩放：

\[ \frac{\mathcal{H}}{H} \sim Ro \frac{L^2}{L_d^2}. \]

现在，流体厚度 \(h\) 可以表示为其平均值与偏差之和：

\[ h = H + h_D = H + (\eta_T - \eta_B). \]

其中 \(\eta_B\) 是底部地形的高度，\(\eta_T\) 是流体高于平均值的高度。根据上述缩放，流体的偏差高度可以写成：

\[ \eta_T = Ro \frac{L^2}{L_d^2} H \hat{\eta_T}, \quad \eta = H + \eta_T = H \left(1 + Ro \frac{L^2}{L_d^2} \hat{\eta_T}\right). \]

同样地，厚度的偏差也按相同的缩放规律进行缩放：

\[ h = H + h_D = H \left(1 + Ro \frac{L^2}{L_d^2} \hat{h_D}\right). \]

5.2 地转浅水方程

5.2.1 行星地转方程

我们现在推导适用于特定参数范围的简化方程组，首先是适用于最大尺度的方程组。具体地，我们取：

\[ Ro \ll 1, \quad \frac{L}{L_d} \gg 1, \quad \text{使得} \quad Ro \left(\frac{L}{L_d}\right)^2 = O(1). \]

第一项不等式意味着我们考虑的是地转平衡流动。第二项不等式意味着我们考虑的是远大于变形半径的流动。

在这种情况下，动量方程简化为：

\[ f \times u = -\nabla \eta, \]

或在分量形式下表示为：

\[ f v = g \frac{\partial \eta}{\partial x}, \quad f u = -g \frac{\partial \eta}{\partial y}. \]

质量连续方程为：

\[ \frac{\partial h}{\partial t} + \nabla \cdot (h u) = 0. \]

这组方程被称为行星地转浅水方程。

行星地转位涡

在完整的浅水方程中，位涡是守恒的，意味着：

\[ \frac{D}{Dt} \left(\frac{\zeta + f}{h}\right) = 0. \]

在行星地转方程中，这一守恒定律简化为：

\[ \frac{D}{Dt} \left(\frac{f}{h}\right) = 0. \]

这表明在地转平衡下，位涡守恒。

5.2.2 准地转方程

准地转方程 适用于与变形半径相同尺度的地转平衡流动，因此：

\[ Ro \ll 1, \quad \frac{L}{L_d} = O(1) \quad \text{使得} \quad Ro \left(\frac{L}{L_d}\right)^2 \ll 1. \quad (5.17) \]

由于罗斯贝数很小，动量方程再次简化为地转平衡，即(5.13)。在质量连续性方程中，我们现在消去所有涉及罗斯贝数的项，得到：

\[ \nabla \cdot u = 0. \quad (5.18) \]

地转平衡或(5.18)都不是预报方程，这似乎表明我们推导出了一组无趣的静态方程。事实上，我们并没有走得更远，因为在推导中没有任何内容表明这些量不会演化。为此，我们假设科里奥利参数几乎是常数，这在物理上与尺度运动可比于变形尺度的想法一致。具有恒定科里奥利参数的地转平衡给出：

\[ f_0 u = -g \frac{\partial \eta}{\partial y}, \quad -f_0 v = -g \frac{\partial \eta}{\partial x}, \quad \nabla \cdot u = 0. \quad (5.19) \]

也就是说，地转流是无辐散的，因此我们不应假设 \(\nabla \cdot u = 0\) 是高度方程中的主导项。

然而，经过更仔细的推导，我们可以在这些条件下导出一组演化方程，这在实际中非常有用，因为它描述了与天气相关的运动尺度上的流动。我们明确假设以下三点：

1. 罗斯贝数很小，流动接近地转平衡。
2. 运动尺度与变形尺度相似，因此 \( L \sim L_d \) 且 \( Ro (L / L_d)^2 \ll 1 \)。
3. 科里奥利参数的变化很小，因此 \( f = f_0 + \beta y \)，其中 \(\beta y \ll f_0\)。

此时，速度等于地转分量 \( u_g \) 加上非地转分量 \( u_a \)，其中 \( |u_g| \gg |u_a| \)，且地转速度满足：

\[ f_0 \times u_g = -g \nabla \eta, \quad (5.20) \]

由于假设(iii)中使用了恒定的科里奥利参数，这意味着 \(\nabla \cdot u_g = 0\)。

我们从浅水涡度方程出发，与(4.32)类似，写为：

\[ \frac{\partial \zeta}{\partial t} + (u \cdot \nabla)(\zeta + f) = -(\zeta + f)\nabla \cdot u. \quad (5.21) \]

5.2.3 准地转位涡

与浅水位涡的联系

从(5.20)的结果可知，右侧仅包含非地转速度，这很小，并且由于 \(\zeta\) 比 \(f\) 小一个罗斯贝数因子，我们可以忽略 \(\zeta \nabla \cdot u\) 并将 \(f\) 取为 \(f_0\)。在左侧，速度通过地转流很好地近似，因此我们得到：

\[ \frac{\partial \zeta_g}{\partial t} + (u_g \cdot \nabla)(\zeta_g + f) = -f_0 \nabla \cdot u_a. \quad (5.22) \]

在左侧，\(f\) 可以被替换为 \(\beta y\)。

我们现在使用质量连续性方程来获得散度的表达式。从(5.10)质量连续性方程是：

\[ \frac{D h_D}{D t} + (H + h_D)\nabla \cdot u = 0, \quad (5.23) \]

由于 \(H \gg h_D\) (使用(5.11))，\(H\) 比较大，因此方程变为：

\[ \frac{D}{D t} (\eta - \eta_B) + H \nabla \cdot u_a = 0. \quad (5.24) \]

结合(5.22)和(5.23)得到：

\[ \frac{D}{D t} \left(\zeta_g + f - \frac{f_0 (\eta - \eta_B)}{H}\right) = 0. \quad (5.25) \]

涡度和高度场通过流函数关联：

\[ \zeta_g = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = \nabla^2 \psi, \quad \eta = \frac{f_0 \psi}{g}, \quad (5.26a,b) \]

方程(5.25)可以写为：

\[ \frac{D q}{D t} = 0, \quad q = \nabla^2 \psi + \beta y - \frac{\psi}{L_d^2} + \frac{f_0 \eta_B}{H}. \quad (5.27) \]

其中 \(L_d = \sqrt{\frac{g H}{f_0^2}}\)，变量 \(q\) 是准地转位涡。

5.2.3 准地转位涡度

与浅水位涡度的联系

由(5.27)给出的量q是一个近似值（除了对动态无关紧要的常数加性和乘性因子之外），对于浅水位涡度。

浅水位涡度的表达式

为了验证这一陈述的真实性，我们从浅水位涡度的表达式开始：

\[ Q = \frac{f + \zeta}{h} \]

为了简化，我们将底部地形设为零，然后假设 \( H = H(1 + \eta_T / H) \) 并假设 \( \eta_T / H \) 很小，以获得：

\[ Q = \frac{f + \zeta}{H(1 + \eta_T / H)} = \frac{1}{H}(f + \zeta)\left(1 - \frac{\eta_T}{H}\right) = \frac{1}{H}\left(f_0 + \beta y + \zeta - f_0 \frac{\eta_T}{H}\right) \]

因为 \( f_0 / H \) 是一个常数，它对演化方程没有影响，因此由下式给出的量：

\[ q = \beta y + \zeta - f_0 \frac{\eta_T}{H} \]

在物质上是守恒的。使用地转平衡，我们有 \( \zeta = \nabla^2 \psi \) 并且 \( \eta_T = f_0 \psi / g \)，因此(5.30)与(5.27)是相同的（除了对\( \eta_T \) 的近似）。

推导所需的近似与从(5.28)到(5.30)的推导相同，这些方程与我们之前的准地转方程推导是相同的。可以认为 \( f \) 是几乎常数的，并且 \( f_0 \) 远大于 \( \zeta \)，相当于一个低罗斯贝数假设。还需要假设 \( H \gg \eta_T \) 来实现高度场的展开，这一近似相当于要求运动的尺度不能显著大于变形尺度。

推导完成时，可以注意到位涡度的平流应仅由地转速度决定，并且我们重新得到了(5.27)。

5.3 在连续分层系统中的缩放

我们现在将相同的缩放思想应用于原始方程，并使用静力Boussinesq方程，我们将其写为：

\[ \frac{D\mathbf{u}}{Dt} + f \times \mathbf{u} = -\nabla \phi, \]

\[ \frac{\partial \phi}{\partial z} = b, \]

\[ \frac{Db}{Dt} = 0, \]

\[ \nabla \cdot \mathbf{u} = 0. \]

我们只考虑平底的情况，但地形是一个相对简单的扩展。预期平均分层可能不会以相同的方式缩放，因此我们将分离平均分层的平流贡献，将(5.31c)写为：

\[ b = \bar{b}(z) + b'(x, y, z, t). \]

热力学方程

热力学方程变为：

\[ \frac{Db'}{Dt} + N^2 w = 0, \]

其中 \( N^2 = \partial \bar{b} / \partial z \) 并且平流导数仍然是三维的。然后我们设 \( \phi = \bar{\phi}(z) + \phi' \)，其中 \( \bar{\phi} \) 在静水力学上由 \( \bar{b} \) 平衡，静水方程变为：

\[ \frac{\partial \phi'}{\partial z} = b'. \]

方程(5.33)和(5.34)取代了(5.31c)和(5.31b)，并且在(5.31a)中使用了 \( \phi' \)。

5.3.1 缩放方程

我们假设基本变量的缩放如下：

\[ (x, y) \sim L, \quad (u, v) \sim U, \quad t \sim \frac{L}{U}, \quad z \sim H, \quad f \sim f_0, \quad N \sim N_0. \]

其中，除了 \( f_0 \) 之外，所有变量的缩放（大写字母）都被选择，使得无量纲变量的量级约为1，并且常数 \( N_0 \) 是分层的代表性值。

我们假设所选的尺度使得罗斯贝数很小，即 \( Ro = \frac{U}{f_0 L} \ll 1 \)。在动量方程中，压力项与科里奥利力平衡，因此有：

\[ |f \times u| \sim |\nabla \phi'|, \]

因此压力缩放为：

\[ \phi' \sim \Phi = f_0 U L. \]

使用静力学关系，(5.37) 意味着浮力缩放为：

\[ b' \sim \frac{f_0 U L}{H}. \]

由此我们得到：

\[ \frac{\partial b'}{\partial z} \sim \frac{f_0 U L}{H^2}. \]

并且：

\[ N^2 \sim \frac{f_0^2 L^2}{H^2}. \]

其中：

\[ L_d = \frac{N_0 H}{f_0}. \]

这是连续分层流动中的变形半径，类似于浅水系统中的 \( \sqrt{g H} / f_0 \)，我们使用相同的符号来表示两者。

垂直速度缩放

接下来，我们使用质量连续性方程，将垂直速度无量纲化：

\[ \frac{\partial w}{\partial z} = -\left(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}\right), \]

并进行缩放：

\[ w \sim \frac{U H}{L}. \]

这一缩放不一定在地转平衡流动中是正确的。在这种情况下，我们可以通过交叉微分地转平衡（假设 \( \bar{\rho} \) 恒定以简化）来估算线性地转涡度方程及相应的缩放：

\[ \beta v \approx \frac{\partial w}{\partial z}, \quad w \sim \frac{\beta U H}{f_0}. \]

如果科里奥利参数的变化很大，且 \( \beta \sim f_0 / L \)，那么(5.43b)与(5.42)相同，但如果 \( f \) 在局部区域是恒定的，那么我们有 \( w \ll \frac{U H}{L} \)。

无量纲化变量

根据上述缩放（使用(5.42)的缩放关系），我们将变量进行无量纲化，设定：

\[ (\hat{x}, \hat{y}) = L^{-1}(x, y), \quad \hat{z} = H^{-1} z, \quad (\hat{u}, \hat{v}) = U^{-1} (u, v), \quad \hat{t} = \frac{U}{L} t, \]

\[ \hat{w} = \frac{L}{U H} w, \quad \hat{f} = f_0^{-1} f, \quad \hat{\phi} = \frac{\phi'}{f_0 U L}, \quad \hat{b'} = \frac{H}{f_0 U L} b'. \]

现在所有的变量都是无量纲的。水平动量方程和静力方程变为：

\[ Ro \frac{D \hat{\mathbf{u}}}{D \hat{t}} + \hat{f} \times \hat{\mathbf{u}} = -\nabla \hat{\phi}, \]

\[ \frac{\partial \hat{\phi}}{\partial \hat{z}} = \hat{b}. \]

无量纲质量连续性方程简化为：

\[ \nabla \cdot \hat{\mathbf{u}} = 0. \]

无量纲热力学方程为：

\[ \frac{f_0 U L}{H} \frac{D \hat{b}}{D \hat{t}} + N_0^2 N_0^2 \frac{H U}{L} \hat{w} = 0, \]

或重新排列为：

\[ Ro \frac{D \hat{b}}{D \hat{t}} + \left(\frac{L_d}{L}\right)^2 N^2 \hat{w} = 0. \]

无量纲布辛涅斯克原始方程

在旋转参考系中，无量纲、静力、布辛涅斯克方程为：

水平动量：

\[ Ro \frac{D \hat{\mathbf{u}}}{D \hat{t}} + \hat{f} \times \hat{\mathbf{u}} = -\nabla \hat{\phi}, \quad (\text{PE.1}) \]

静力学：

\[ \frac{\partial \hat{\phi}}{\partial \hat{z}} = \hat{b}, \quad (\text{PE.2}) \]

质量连续性：

\[ \frac{\partial \hat{u}}{\partial \hat{x}} + \frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{y}} + \frac{\partial \hat{w}}{\partial \hat{z}} = 0, \quad (\text{PE.3}) \]

热力学：

\[ Ro \frac{D \hat{b}}{D \hat{t}} + \left(\frac{L_d}{L}\right)^2 \hat{N}^2 \hat{w} = 0. \quad (\text{PE.4}) \]

以上是无量纲布辛涅斯克原始方程，包括水平动量方程、静力学方程、质量连续性方程和热力学方程。

5.4 行星地转方程用于分层流体

行星地转方程适用于大水平尺度下的地转流动。这些方程的特定假设包括：

• (i) \( Ro \ll 1 \)
• (ii) \( \left(L_d / L\right)^2 \ll 1 \) 。更具体地，\( Ro \left(L / L_d\right)^2 = \mathcal{O}(1) \)

我们还允许 \( f \) 随纬度变化，尽管我们仍然使用笛卡尔坐标系。如果我们仅保留主导项，则动量方程应由地转平衡替代，而静力学和质量连续性方程保持不变。

在热力学方程中，两项都是罗西数阶，因此我们保留两者。这种情况源于假设我们正在处理大尺度，在这些尺度上扰动浮力变化与平均浮力本身一样大。浮力方程退化为总浮力的演化方程，具体为：

\[ \frac{D b}{D t} = 0, \tag{5.50} \]

其中物质导数是完全三维的。这是系统中唯一的演化方程。因此，总结来说，行星地转运动方程的维度形式为：

\[ \frac{D b}{D t} = 0, \quad f \times u = - \nabla \phi, \quad \frac{\partial \phi}{\partial z} = b', \quad \nabla \cdot u = 0. \tag{5.51} \]

潜在涡度

通过对(5.51)进行操作，我们可以等效地将方程写为潜在涡度的演化方程。因此，演化方程可表示为：

\[ \frac{D Q}{D t} = 0, \quad Q = f \frac{\partial b}{\partial z}. \tag{5.52} \]

反演——即速度、压力和浮力的诊断——使用静力学、地转和平衡方程进行求解。在实际情况下，浮力和潜在涡度方程的右侧将包含加热项。

5.4.1 在海洋和大气中的适用性

在大气中，典型的变形半径 \( NH / f \) 大约为 1000 km。尺度远大于变形半径的约束在大气中较难满足，因为地球的赤道到两极的距离为 10,000 km。因此，只有大气中最大的运动尺度可以满足行星地转尺度，我们应适当使用球坐标编写方程。

在海洋中，变形半径大约为 100 km，因此有足够的空间来满足行星地转方程，并且许多大尺度海洋结构理论都涉及行星地转方程。

5.5 分层流体的拟地转方程

现在我们考虑适用于与变形半径同阶的地转流动的方程。

5.5.1 尺度与假设

非维度化和尺度缩放与之前相同，因此非维度方程与上一页阴影框中的方程相同。科里奥利参数由以下公式给出：

\[ f = (f_0 + \beta y) \hat{k}. \tag{5.53} \]

科里奥利参数的变化现在假设较小（这是拟地转系统与行星地转系统的一个关键区别），特别是我们假设 \( \beta y \) 大约是相对涡度大小，并且远小于 \( f_0 \)。推导拟地转系统所需的主要假设包括：

• (i) 罗西数很小，\( Ro \ll 1 \)
• (ii) 长度尺度与变形半径同阶，\( L \sim L_d \) 或 \( L / L_d = \mathcal{O}(1) \)
• (iii) 科里奥利参数的变化较小，特别是 \( |\beta y| \sim Ro f_0 \)

5.5.2 分层拟地转方程的推导

我们从水平动量方程开始进行交叉微分，得到涡度方程：

\[ \frac{D}{D t}(\zeta + f) = -(\zeta + f)\left(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}\right) + \left(\frac{\partial u}{\partial z} \frac{\partial w}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial z} \frac{\partial w}{\partial y}\right). \tag{5.58} \]

我们应用拟地转假设，得到：

\[ \frac{D_g}{D t}(\zeta_g + f) = -f_0 \left(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}\right) = f_0 \frac{\partial w}{\partial z}. \tag{5.59} \]

最终消除 \( w \) 并进行代数运算后，得到：

\[ \frac{D q}{D t} = 0, \quad q = \zeta_g + f + f_0^2 \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{1}{N^2} \frac{\partial \psi}{\partial z}\right). \tag{5.63a,b} \]

这就是拟地转涡度方程。所有其他动力学变量都可以从潜在涡度中获得。

长度尺度： \( L_d = NH / f_0 \)。

在高纬度地区，海洋变形半径较小，可能仅为 20 km。而在大气中，变形半径可能更大。

5.5.3 上下边界条件与浮力平流

解椭圆方程 (5.63b) 需要在地面和某个上边界（例如平流层顶）上对流函数 \( \psi \) 施加垂直边界条件，这些条件由热力学方程给出。对于平坦、光滑、刚性的表面，垂直速度为零，因此热力学方程可写为：

\[ \frac{D b'}{D t} = 0, \quad b' = f_0 \frac{\partial \psi}{\partial z}, \quad z = 0, H. \tag{5.67} \]

这个方程提供了边界上 \( \partial \psi / \partial z \) 的值，用于求解 (5.63b)。如果需要，可以根据需要添加加热项。如果没有上边界（如在实际大气中），我们将假设运动随高度衰减至零，并在此基础上继续。对于不平坦的底部边界，垂直速度不为零，热力学方程变为：

\[ \frac{D}{D t} \left( \frac{\partial \psi}{\partial z} \right) + w N^2 = 0, \quad w = u \cdot \nabla \eta_B. \tag{5.68} \]

其中 \( \eta_B \) 是地形的高度。在实践中，底部边界条件通常被纳入潜在涡度的定义中，我们将在双层模型中看到这一点。

5.6 双层拟地转方程

连续分层的拟地转方程，顾名思义，具有垂直方向的连续变化。将这一变化约束为仅两个层次是极其有用的，其中速度仅在两个垂直层次上定义，温度仅在中间层次上定义，但保留完整的水平变化。这些方程不仅在代数上更简单，而且捕捉到许多重要特征。

有两种推导这些方程的方法。一种是通过考虑两个不可混合的浅层流体的运动，彼此堆叠，得到“双层”拟地转方程。第二种方法是对连续方程进行有限差分，这是我们在此使用的方法。两种方法得出的结果完全一致，我们在本书中将“双层”和“双水平”互换使用。

5.6.1 方程推导

拟地转潜在涡度方程可写为：

\[ q = \nabla^2 \psi + \beta y + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{f_0^2}{N^2} \frac{\partial \psi}{\partial z} \right). \tag{5.69} \]

我们现在将该方程应用于 1 层和 2 层，假设 \( N \) 是常数，\( H_1 = H_2 = H/2 \)（这些限制可以放宽）。使用简单的垂直有限差分给出：

\[ q_1 = \nabla^2 \psi_1 + \beta y + \frac{f_0^2}{N^2} \frac{1}{H/2} \left( \left( \frac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\text{top}} - \frac{\psi_1 - \psi_2}{H/2} \right). \tag{5.70} \]

在该方程中，\( \left( \partial \psi / \partial z \right)_{\text{top}} \) 是在域顶部的值，\( 2(\psi_1 - \psi_2) / H \) 是在域中部的值。顶部的值由热力学方程 (5.67) 给出，如果没有加热，我们设定：

\[ \frac{D}{D t} \left( \frac{\partial \psi}{\partial z} \right)_{\text{top}} = 0. \]

上层的潜在涡度方程变为：

\[ \frac{D q_1}{D t} = 0, \quad q_1 = \nabla^2 \psi_1 + \beta y + \frac{k_d^2}{2} (\psi_2 - \psi_1), \tag{5.71a,b} \]

其中 \( k_d^2 = 8 f_0^2 / N^2 H^2 \)。这样，我们将边界条件纳入潜在涡度的定义中。

我们对下层应用完全相同的过程，得到下层的潜在涡度方程：

\[ \frac{D q_2}{D t} = 0, \quad q_2 = \nabla^2 \psi_2 + \beta y + \frac{k_d^2}{2} (\psi_1 - \psi_2), \tag{5.72} \]

如果存在地形，则它通过底部的浮力方程影响潜在涡度，并被纳入下层潜在涡度的定义中，变为：

\[ q_2 = \nabla^2 \psi_2 + \beta y + \frac{k_d^2}{2} (\psi_1 - \psi_2) + \frac{f_0 \eta_B}{H_2}. \tag{5.73} \]

这些方程的形式与具有地形的浅水潜在涡度方程相似，如(5.27)所示。双层方程在动力海洋学和气象学的发展中已被证明非常有用，我们将在后续章节中回到它们。

拟地转方程

连续分层

在β平面上，Boussinesq流体的绝热拟地转潜在涡度方程为：

\[ \frac{D q}{D t} = 0, \quad q = \nabla^2 \psi + f \beta y + \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{f_0^2}{N^2} \frac{\partial \psi}{\partial z}\right), \tag{QG.1} \]

其中，\( \psi \) 是流函数。水平速度由 \( (u, v) = \left(-\frac{\partial \psi}{\partial y}, \frac{\partial \psi}{\partial x}\right) \) 给出。顶部和底部的边界条件由浮力方程给出：

\[ \frac{D b}{D t} = 0, \quad b = f_0 \frac{\partial \psi}{\partial z}. \tag{QG.2} \]

双层

双层或双层次拟地转方程为：

\[ \frac{D q_i}{D t} = 0, \quad q_i = \nabla^2 \psi_i + \beta y + \frac{k_d^2}{2} (\psi_j - \psi_i), \tag{QG.3} \]

其中 \( i = 1, 2 \)，分别表示顶部和底部层次，而 \( j = 3 - i \)。

这些方程展示了不同层次之间的相互作用，并揭示了涡度与浮力之间的联系。

第6章 Rossby 波

简介

波浪对几乎所有人都很熟悉。重力波覆盖海洋表面，声波使我们能够交谈，而光波使我们能够看见。这一章介绍了它们的性质，特别关注一种对海洋和大气中的大尺度流动尤其重要的波——Rossby 波。我们从波动力学的基本介绍开始，讨论相速度和群速度等概念。然后，从第 6.3 节开始，我们讨论 Rossby 波的动力学，这部分可以被视为上一章地转理论的自然延续。Rossby 波随后在后续章节中频繁出现。

6.1 基础与形式

6.1.1 定义与运动学

波更容易被识别而不是被定义。宽泛地说，波是具有频率和尺度特征关系的传播扰动，这种关系被称为色散关系。为了更好地理解这个概念，我们假设某种扰动满足以下方程：

\[ L(\psi) = 0, \tag{6.1} \]

其中 \( L \) 是一个线性算子，通常是时间和空间导数的多项式；一个例子是 \( L(\psi) = \partial^2 \psi / \partial t + \beta \partial \psi / \partial x \)。如果 (6.1) 中的系数是常数（如在此示例中 \( \beta \) 是常数），则可以找到谐波解，这些解是平面波的叠加形式，满足：

\[ \psi = \text{Re} \tilde{\psi} e^{i\theta(x, t)} = \text{Re} \tilde{\psi} e^{i(k \cdot x - \omega t)}, \tag{6.2} \]

其中 \( \tilde{\psi} \) 是复常数，\( \theta \) 是相位，\( \omega \) 是波的频率，\( k \) 是矢量波数（\( k, l, m \) 的向量，或 \( k_x, k_y, k_z \) 的简化标记）。前缀 \( \text{Re} \) 表示表达式的实部，如果没有歧义，我们将省略它。

波的特征在于频率和波矢之间的特定关系，称为色散关系。这关系为以下形式的方程：

\[ \omega = \Omega(k), \tag{6.3} \]

其中 \( \Omega(k) \) 或 \( \Omega(k, l, m) \) 是某种函数，由 (6.1) 的形式决定，并因此取决于特定的波类型——声音波、光波和 Rossby 波及重力波的函数均不同。本书中我们将遇到这些波。除非有必要明确区分 \( \Omega \) 和频率 \( \omega \) 的函数，我们通常写作 \( \omega = \omega(k) \)。

6.1.2 波的传播与相速度

波的一个常见性质是，它们以某种速度通过空间传播，在某些特殊情况下该速度可能为零。在流体中，波可能携带能量和动量，但通常不会传输流体本身。此外，事实证明，属性如能量的传播速度（群速度）可能与波峰本身的移动速度（相速度）不同。让我们从相速度开始尝试理解这一点。第 107 页给出了关键结果的总结。

相速度

考虑单色平面波的传播，这是引入相速度所需的一切。由 (6.2) 可知，波将在 \( k \) 的方向上传播（如图 6.1 所示）。在给定时刻和位置，我们可以将坐标轴对齐到 \( k \) 的方向，写作 \( k \cdot x = K x^* \)，其中 \( x^* \) 增加的方向为 \( k \)，且 \( K^2 = |k|^2 \) 是波数的模。通过这种方式，我们可以将 (6.2) 写作：

\[ \psi = \text{Re} \tilde{\psi} e^{i(K x^* - \omega t)} = \text{Re} \tilde{\psi} e^{i(K x^* - ct)}. \tag{6.4} \]

由此可见，相位 \( \theta \) 以速度 \( c \) 在 \( k \) 的方向上传播，我们定义相速度为：

\[ \begin{aligned} c_p = \frac{\omega}{K}. \tag{6.5} \end{aligned} \]

波长 \( \lambda \) 是两波峰之间的距离，即沿传播线两点之间的距离，其相位差为 \( 2\pi \)。显然这可以表示为：

\[ \lambda = \frac{2\pi}{K}. \tag{6.6} \]

为简单起见，考虑二维波，并参考图 6.1，\( x \)-和 \( y \)-方向的波长和波矢表示为：

\[ \lambda^x = \frac{\lambda}{\cos \phi}, \quad \lambda^y = \frac{\lambda}{\sin \phi}, \quad k^x = K \cos \phi, \quad k^y = K \sin \phi. \tag{6.7} \]

通常，等相线与坐标轴相交并沿着它们传播。沿这些轴的传播速度为：

\[ \begin{aligned} c_p^x &= \frac{l^x}{l} c_p = \frac{c_p}{\cos \phi} = \frac{\omega}{k^x}, \\ c_p^y &= \frac{l^y}{l} c_p = \frac{c_p}{\sin \phi} = \frac{\omega}{k^y}. \tag{6.8} \end{aligned} \]

使用 (6.5) 和 (6.7)，并再次参考图 6.1 的符号。波沿任一坐标轴的相位传播速度通常大于波的主传播方向上的相速度。相速度显然不是一个向量的分量：例如，\( c_p^x \neq c_p \cos \phi \)。相应地，波矢 \( k \) 是一个真向量，而波长 \( \lambda \) 不是。

总结，相速度及其分量如下：

\[ c_p = \frac{\omega}{K}, \quad c_p^x = \frac{\omega}{k^x}, \quad c_p^y = \frac{\omega}{k^y}. \tag{6.9} \]

波的基本原理

波是一种传播的扰动，其频率和大小之间存在特定关系，被称为色散关系。波通常作为形式为 \( L(\psi) = 0 \) 的线性问题的解出现，其中 \( L \) 通常是空间和时间中的线性算子。

两个示例为：

\[ \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2 \psi = 0 \]

\[ \frac{\partial}{\partial t} \nabla^2 \psi + \beta \frac{\partial \psi}{\partial x} = 0, \]

其中第二个示例对应 Rossby 波。

• 控制方程的解通常以平面波的形式寻找，形式为：

  \[ \psi = \text{Re} \, A e^{i(k \cdot x - \omega t)}, \]

  其中 \( A \) 是波幅，\( k = (k, l, m) \) 是波矢，\( \omega \) 是频率。

• 色散关系通过形式为 \( \omega = \Omega(k) \) 的方程连接频率和波矢，其中 \( \Omega \) 是某个函数。色散关系通常通过将试探解（如 (WF.2)）代入控制方程推导出来。例如，对 (WF.1) 的两个示例，我们得到：

\[ \omega = c^2 K^2, \quad \omega = -\frac{\beta k}{K^2}, \]

其中 \( K^2 = k^2 + l^2 + m^2 \)，在二维情况下为 \( K^2 = k^2 + l^2 \)。

• 相速度是波峰移动的速度。在传播方向上，相速度为：

  \[ c_p = \frac{\omega}{K}, \quad c_p^x = \frac{\omega}{k}, \quad c_p^y = \frac{\omega}{l}, \quad c_p^z = \frac{\omega}{m}. \tag{WF.3} \]

• 群速度是波包或波群移动的速度，是一个向量，由下式给出：

  \[ c_g = \frac{\partial \omega}{\partial k}, \quad c_g^x = \frac{\partial \omega}{\partial k}, \quad c_g^y = \frac{\partial \omega}{\partial l}, \quad c_g^z = \frac{\partial \omega}{\partial m}. \tag{WF.4} \]

• 大多数物理量都以群速度传递。

6.1.3 色散关系

上述描述是运动学上的，因为它适用于几乎所有具有波矢和频率的扰动。波的特定动力学由波矢与频率之间的关系决定，即色散关系。一旦知道了色散关系，波的许多属性便可以以或多或少直接的方式推导出来。从(6.3)开始，色散关系是频率与波矢之间的函数关系，通式为：

\[ \omega = \Omega(\mathbf{k}). \tag{6.10} \]

也许最简单的线性算子示例是产生波动的一维方程：

\[ \frac{\partial \psi}{\partial t} + c \frac{\partial \psi}{\partial x} = 0. \tag{6.11} \]

将形式为 \( \psi = Re(A e^{i(kx-\omega t)}) \) 的试探解代入(6.11)，得到色散关系：

\[ \omega = c k. \tag{6.12} \]

此波的相速为 \( c_p = \omega / k = c \)。其他一些控制方程、色散关系和相速度的例子为：

\[ \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2 \psi = 0, \quad \omega^2 = c^2 K^2, \quad c_p = \pm c, \quad c_p^x = \pm \frac{c K_x}{K}, \quad c_p^y = \pm \frac{c K_y}{K}, \tag{6.13a} \]

\[ \frac{\partial}{\partial t} \nabla^2 \psi + \beta \frac{\partial \psi}{\partial x} = 0, \quad \omega = -\frac{\beta k}{K^2}, \quad c_p = \frac{\omega}{k}, \quad c_p^x = -\frac{\beta}{K^2}, \quad c_p^y = -\frac{\beta l}{K^2}. \tag{6.13b} \]

波的叠加

如图 6.2 所示，不同波数 \( k \) 和 \( k + \delta k \) 的波的叠加产生一个调制波包。调制波包的传播速度为群速度 \( c_g = \partial \omega / \partial k \)，而相速度为 \( c_p = \omega / k \)。

对于二维波，其中 \( K^2 = k^2 + l^2 \)。

若波的相速度与波长无关，则称为非色散波。这一条件适用于简单的例子(6.11)，但显然不适用于(6.13b)的例子。这些波（例如罗斯贝波）实际上是色散波。

具有不同波长的波以不同速度传播，因此一组波会扩展——即使介质是均匀的。当波是色散波时，还存在另一种传播速度，即群速度，这将在下一节详细讨论。

大多数介质是不均匀的，但如果介质随空间和时间缓慢变化，特别是变化相对于波长和周期较慢，则仍可以具有频率与波矢之间的局部色散关系：

\[ \omega = \Omega(\mathbf{k}; x, t), \tag{6.14} \]

其中 \( x \) 和 \( t \) 是缓慢变化的参数。我们将在6.5节中继续讨论这一主题，但在此之前，我们先介绍群速度。

6.2 群速度

信息和能量通常并不以相速度传播。相反，大多数感兴趣的量是以“群速度”传播的，群速度是波动理论中一个极其重要的量。大致而言，群速度是波包或波群传播的速度，而单个波峰是以相速度传播的。

为了介绍这个概念，我们将考虑平面波的叠加，值得注意的是，一个真正的单色平面波已经均匀填满了整个空间，因此不可能存在能量从一个地方传播到另一个地方的情况。

6.2.1 两个波的叠加

考虑两个波的线性叠加。将注意力限制在一维情况，考虑一个由两个波叠加而成的扰动：

\[ \psi = \Re \tilde{\psi} \left( e^{i(k_1 x - \omega_1 t)} + e^{i(k_2 x - \omega_2 t)} \right). \tag{6.15} \]

进一步假设这两个波具有相似的波数和频率，特别是，设 \( k_2 = k + \Delta k \) 和 \( \omega_2 = \omega + \Delta \omega \)。这样，式 (6.15) 变为：

\[ \psi = \Re \tilde{\psi} e^{i(kx - \omega t)} \left( e^{-i\Delta k x + \Delta \omega t} + e^{i\Delta k x - \Delta \omega t} \right), \tag{6.16} \]

经过化简可以得到扰动包括两个部分：一个快速变化的部分和一个缓慢变化的包络。包络以速度 \( \Delta \omega / \Delta k \) 移动，这就是群速度：

\[ c_g = \frac{\partial \omega}{\partial k}. \tag{6.17} \]

群速度等于相速度 \( \omega / k \) 仅当频率是波数的线性函数时。

6.3 罗氏波的基本要素

罗氏波是大气和海洋中最重要的波动之一，其作用范围较大，尽管重力波有时与之匹敌。罗氏波的最佳描述可以通过准地转方程实现，如下所示。

6.3.1 运动方程的线性化

相关的运动方程是不可压缩、绝热潜在涡度方程，在第 5 章讨论的准地转系统中为：

\[ \frac{\partial q}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla q = 0, \tag{6.18} \]

其中，\( q(x, y, z, t) \) 是潜在涡度，\( \mathbf{u}(x, y, z, t) \) 是水平速度，速度由流函数 \( \psi \) 决定，且

\[ \mathbf{u} = (-\frac{\partial \psi}{\partial y}, \frac{\partial \psi}{\partial x}). \]

潜在涡度由下式给出：

\[ q = f + \zeta + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{f_0^2}{N^2} \frac{\partial \psi}{\partial z} \right), \tag{6.19a,b} \]

其中，\( \zeta = \nabla^2 \psi \) 是相对涡度，\( k_d = 1 / L_d \) 是浅水系统中变形的逆半径。

通过线性化 (6.18)，可以进一步得到：

\[ \frac{\partial q'}{\partial t} + U \frac{\partial q'}{\partial x} + v' \frac{\partial \bar{q}}{\partial y} = 0, \tag{6.22} \]

其中 \( U = \bar{u} \)。

我们现在对方程 (6.18) 进行线性化处理，即假设流场由时间不变的分量（“基本态”）和扰动组成，且扰动相对于平均流动较小。基本态必须满足时间不变的运动方程，而将其线性化到一个纬向流 \( \bar{u}(y, z) \) 是常见且有用的。基本态仅是 \( y \) 的函数，因此我们可以写为：

\[ q = \bar{q}(y, z) + q'(x, y, t), \quad \psi = \bar{\psi}(y, z) + \psi'(x, y, z, t), \tag{6.20} \]

对于其他变量使用类似的符号，且 \( \bar{u} = -\partial \bar{\psi}/\partial y \) 且 \( \bar{v} = 0 \)。将这些代入方程 (6.18)，不进行简化，可得：

\[ \frac{\partial q'}{\partial t} + \bar{\mathbf{u}} \cdot \nabla q' + \mathbf{u}' \cdot \nabla \bar{q} + \mathbf{u}' \cdot \nabla q' = 0, \tag{6.21} \]

假定扰动量较小，因此忽略涉及其乘积的项。此外，我们假设线性化时状态是运动方程的解，因此 \( \bar{\mathbf{u}} \cdot \nabla \bar{q} = 0 \)。最后，由于 \( \bar{u} = 0 \)（因为 \( \partial \bar{v}/\partial x = 0 \) 且 \( \partial \bar{q}/\partial x = 0 \)），我们得到：

\[ \frac{\partial q'}{\partial t} + U \frac{\partial q'}{\partial x} + v' \frac{\partial \bar{q}}{\partial y} = 0, \tag{6.22} \]

其中 \( U \equiv \bar{u} \)。该方程或类似的方程在单层罗氏波研究中非常常见。让我们首先考虑单层罗氏波的简单情况。

6.3.2 单层中的波动

考虑满足方程 (6.18) 和 (6.19b) 的系统。其动力学在笛卡尔 \(\beta\)-平面中更容易被解释，这里 \(f = f_0 + \beta y\)，且由于 \(f_0\) 是常数，它不会出现在后续推导中。

无限形变半径

当运动尺度远小于形变尺度时，我们可以近似认为 \(k_d = 0\)。此时，涡度方程可以写为：

\[ \frac{\partial \zeta}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \zeta + \beta v = 0. \tag{6.23} \]

6.3 Rossby 波的基本特性

通过以下方式对一个恒定纬向流 \(U\) 进行线性化：

\[ \frac{\partial \nabla^2 \psi'}{\partial t} + U \frac{\partial \nabla^2 \psi'}{\partial x} + \beta \frac{\partial \psi'}{\partial x} = 0. \tag{6.24} \]

该方程是 (6.22) 的单层版本，其中 \(\bar{q} = \beta y\)，\(q' = \nabla^2 \psi'\)。

在方程 (6.24) 中，系数与 \(y\) 或 \(z\) 无关。这并不是波动存在的必要条件，但确实使得求解更加简便。我们尝试以平面波形式寻找解：

\[ \psi' = \Re\left[\tilde{\psi} e^{i(kx + ly - \omega t)}\right], \tag{6.25} \]

其中 \(\tilde{\psi}\) 是复常数。此类解在具有双周期边界条件的领域中有效；在通道中可以通过纬度变化 \(\sin ly\) 实现解，而这对动力学并无实质性影响。

将方程 (6.25) 代入 (6.24)，得到：

\[ \left[(-\omega + Uk)(-K^2) + \beta k\right] \tilde{\psi} = 0, \tag{6.26} \]

其中 \(K^2 = k^2 + l^2\)。为了非平凡解成立，需满足：

\[ \omega = Uk - \frac{\beta k}{K^2}. \tag{6.27} \]

这就是正压 Rossby 波的色散关系。显然，速度 \(U\) 通过项 \(Uk\) 对频率产生了多普勒频移。

相速度与群速度

相速度和群速度的分量分别为：

\[ c_p^x = \frac{\omega}{k} = U - \frac{\beta}{K^2}, \quad c_p^y = \frac{\omega}{l} = U \frac{k}{l} - \frac{\beta k}{K^2 l}, \tag{6.28a,b} \]

以及：

\[ c_g^x = \frac{\partial \omega}{\partial k} = U + \frac{\beta(k^2 - l^2)}{(k^2 + l^2)^2}, \quad c_g^y = \frac{\partial \omega}{\partial l} = \frac{2 \beta kl}{(k^2 + l^2)^2}. \tag{6.29a,b} \]

在没有平均流的情况下，相速度是向西传播的，且具有更长波长的波传播速度更快。向东的流速需要满足特定波数的波保持静止（即 \(c_p^x = 0\)）。背景流 \(U\) 显然仅对相速度提供了统一偏移，并且（在这种情况下）可以通过坐标变换消去。群速度的 \(x\)-分量可以表示为相速度加上一个正量，即：

\[ c_g^x = c_p^x + \frac{2 \beta k^2}{(k^2 + l^2)^2}. \tag{6.30} \]

这意味着 Rossby 波包的纬向群速度相对于其纬向相速度向东移动。

有限形变半径

对于有限形变半径，基本状态 \(\Psi = -Uy\) 仍然是原始运动方程的解，但对应于该状态的涡度为：

\[ q = Uy k_d^2 + \beta y, \]

其梯度为：

\[ \nabla q = (\beta + U k_d^2)\mathbf{j}. \]

线性化后的运动方程为：

\[ \left(\frac{\partial}{\partial t} + U\frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\nabla^2 \psi' - k_d^2 \psi'\right) + \left(\beta + U k_d^2\right)\frac{\partial \psi'}{\partial x} = 0. \tag{6.31} \]

代入平面波解：

\[ \psi' = \tilde{\psi} e^{i(kx + ly - \omega t)}, \]

得到色散关系：

\[ \omega = k \frac{(Uk^2 - \beta)}{k^2 + k_d^2}. \tag{6.32} \]

这说明均匀流不仅仅是简单的多普勒频移，而是通过改变基本的潜在涡度梯度来调整波动特性。