Kepler-186 系统的形成、潮汐演化及宜居性
作者：Emeline Bolmont, Sean N. Raymond, Philip von Paris, Franck Selsis, Franck Hersant, Elisa V. Quintana, Thomas Barclay
发布时间：2014年8月27日 • © 2014 美国天文学会。保留所有权利。
期刊：《天体物理学杂志》，第 793 卷，第 1 期
引用：Emeline Bolmont et al 2014 ApJ 793 3
DOI： 10.1088/0004-637X/793/1/3
摘要
Kepler-186 系统由五颗围绕早期 M 型矮星运行的行星组成。这些行星的物理半径介于 1.0–1.50 $R_\oplus$ 之间，公转周期为 4–130 天。其中，直径约 1.1 $R_\oplus$，周期为 130 天的 Kepler-186f 特别值得关注。其太阳常数约为 0.32 $S_\oplus$，使其处于表面液态水宜居带 (HZ) 内。
我们对 Kepler-186 系统进行了多方面研究，采用了两个与观测数据一致且自洽的参数集。首先，我们展示了如果这些行星是从一个高表面密度的原行星盘中聚集形成的（可能是由早期迁移阶段塑造的），那么行星质量的分布可以大致再现。然而，我们的模拟预测在行星 e 和 f 之间可能存在一到两颗尚未被发现的行星。
接下来，我们分析了系统的动力学，包括潮汐效应的影响。潮汐演化的时间尺度足够短，以至于四颗内行星必须具有较小的自转倾角，并接近同步自转。Kepler-186f 的潮汐演化较慢，其当前自转状态取决于初始自转状态、耗散率及恒星年龄的综合作用。
最后，我们使用一维气候模型研究了 Kepler-186f 的宜居性。其表面温度可以在 CO2 压力为 0.5–5 巴（取决于 N2 的含量）时升高至 273 K 以上。Kepler-186f 作为一颗处于冷星宜居带较冷区域的地球大小行星，为我们提供了一个重要的研究案例。
1. 介绍
开普勒任务（Borucki 等, 2010）在寻找类地行星的道路上取得了关键性发现（例如, Batalha 等, 2011；Borucki 等, 2012；Fressin 等, 2012；Borucki 等, 2013）。最近在一颗 M 型恒星的适居带中发现了一颗类地行星（即开普勒-186系统, Quintana 等, 2014），这使我们离找到真正的“地球双胞胎”更近了一步。
开普勒-186行星系统包含已知的五颗行星，其中包括位于适居带内的一颗类地行星——开普勒-186f（Selsis 等, 2007b；Kopparapu 等, 2013）。图 1 展示了开普勒-186系统、太阳系以及另外两个可能拥有适居行星的系统之间的比较：开普勒-62（Borucki 等, 2013）和 GJ 581（Udry 等, 2007；Mayor 等, 2009）。气候模型表明，靠近其宿主 M 型恒星适居带外侧的超级地球 GJ 581d 能够维持表面液态水（例如, Wordsworth 等, 2010）。开普勒-186f 接收到的恒星辐射与 GJ 581 相当，甚至略高，使其更为舒适地处于适居带内。
图 1. 开普勒-186系统的轨道构型
下部分展示了四个包含适居带行星的不同行星系统之间的比较：太阳系、开普勒-62（Borucki 等, 2013）、开普勒-186（Quintana 等, 2014）以及 GJ 581（Udry 等, 2007；Mayor 等, 2009）。
注意，开普勒-62、开普勒-186 和 GJ 581 的适居带内部潮湿和失控温室极限是相同的。考虑到入射辐射的统一标度，x 轴在轨道距离上呈线性，但每个系统的尺度各不相同。行星的相对尺寸是正确的，尽管对于 GJ 581，行星半径是按照公式 $$ R = [M\sin(i)]^{2.06} $$ （遵循 Lissauer 等, 2011）计算得到的。
这里，我们采用经典适居带的定义（例如, Dole 1964；Hart 1978；Kasting 等, 1993；Selsis 等, 2007b；Kopparapu 等, 2013）。鉴于所有陆生生命均需要液态水，适居带被定义为围绕恒星的一片区域，在这一区域内，一个类地行星的表面可以存在液态水。适居带的范围自然依赖于大气条件（成分、压力）以及中心恒星的性质。还有许多其他因素影响适居带的宽度，例如地质活动（例如, Lammer 等, 2010）、生物圈本身（例如, Grenfell 等, 2010），或行星系统的动力学环境（例如, Menou & Tabachnik 2003；Barnes & Raymond 2004；Jones 等, 2006；Sándor 等, 2007；Kopparapu & Barnes 2010）。
我们对开普勒-186系统进行了三方面的研究。首先，我们尝试使用简单的吸积模拟（见第 3 节）来重现该系统的轨道构型。我们表明，该系统的某些特征——例如行星 e 与行星 f 之间的大间隙——很难解释。接下来，我们简要讨论了系统的长期动力学稳定性（见第 4 节）。在第 5 节中，我们研究了该系统的长期动力学、潮汐和自转演化。我们既使用了简单的潮汐模型，也进行了包括潮汐和广义相对论效应的 N 体模拟。随后，在第 6 节中，我们研究了使开普勒-186f 表面温度达到液态水范围所需的大气条件。最后，我们在第 7 节中讨论了研究发现并进行了总结。
2. 模型输入参数
Quintana 等 (2014) 中给出的恒星属性和行星参数是各自概率密度的中位值。然而，这些中位值并不要求自洽（例如，恒星的密度、半径和质量之间的关系并未得到遵循）。为了研究该系统的动力学演化及其宜居性，我们需要一组自洽的参数。有两种方法可以获得一组自洽的恒星和行星参数，这两种方法分别定义为参数集 A 和 参数集 B：
- 参数集 A：选择恒星属性使其与通过执行马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法获得的点估计凌日模型相匹配（例如，Barclay 等, 2013）；
- 参数集 B：选择凌日模型使其与通过执行 MCMC 获得的点估计恒星属性相匹配。该参数集的恒星属性与 Quintana 等 (2014) 中表 S1 的数据相对应。
参数集 A 和 B 都是有效的参数集，意味着它们既符合观测数据，又是自洽的。
在参数集 A 中，恒星质量为 0.5359 $M_\odot$，而在参数集 B 中为 0.478 $M_\odot$（参见表 1 及 Quintana 等, 2014）。这导致行星的半长轴和入射辐射（insolation）的数值有所不同（参见表 2）。行星半径亦如此，因为它们是通过检测到的凌日深度和恒星半径推导出来的。各参数集之间参数值的这种差异，反映了我们对该系统了解的有限性。我们预计系统的真实参数将在参数集 A 和 B 的范围内，因此我们对这两组参数都进行了动力学模拟。然而，取参数集 A 和 B 的平均值并非可行，因为那样做将失去自洽性（正如 Quintana 等, 2014 中所述）。这也是为何我们选择了一种不同于 Quintana 等 (2014) 的方法，即半长轴不再根据推导的恒星属性选取，而仅由凌日模型确定。
表 1. 恒星属性
| 质量 ($M_\odot$) | 半径 ($R_\odot$) | $T_{\mathrm{eff}}$ (K) | $L_\star/L_\odot$ | |
|---|---|---|---|---|
| 参数集 A | 0.536 | 0.5138 | 3747 | 0.0468 |
| 参数集 B | 0.478 | 0.4720 | 3788 | 0.0412 |
注：数据来自 Quintana 等 (2014) 的表 S1。
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表 2. 行星物理参数
| Kepler-186b | Kepler-186c | Kepler-186d | Kepler-186e | Kepler-186f | |
|---|---|---|---|---|---|
| 周期 (天)a | 3.887 | 7.267 | 13.34 | 22.41 | 129.9 |
| 半长轴 (AU) – 参数集 A | 0.0393 | 0.0596 | 0.0894 | 0.1264 | 0.4078 |
| 半长轴 (AU) – 参数集 B | 0.0378 | 0.0574 | 0.0861 | 0.1216 | 0.3926 |
| 半径 ($R_\oplus$) – 参数集 A | 1.16 | 1.33 | 1.50 | 1.36 | 1.17 |
| 半径 ($R_\oplus$) – 参数集 B | 1.08 | 1.25 | 1.39 | 1.33 | 1.13 |
| 入射辐射 ($S_\oplus$) – 参数集 A | 30.2 | 13.1 | 5.8 | 2.9 | 0.28 |
| 入射辐射 ($S_\oplus$) – 参数集 B | 28.7 | 12.5 | 5.5 | 2.8 | 0.27 |
注：数据来自 Quintana 等 (2014) 的表 S2，数据经过四舍五入。
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开普勒-186系统中的所有五颗行星在两个参数集中其半径均介于 1.0 和 1.5 $R_\oplus$ 之间。考虑到低密度、气体主导的行星往往大于 1.5–2 $R_\oplus$（Weiss 等, 2013；Weiss & Marcy, 2014；Lopez & Fortney, 2013；Jontof-Hutter 等, 2014；Marcy 等, 2014a, 2014b），因此所有开普勒-186的行星很可能是岩石质或至少是固态的。行星的质量尚未通过径向速度或凌日时变测量得到约束（Quintana 等, 2014）。表 3 显示了在不同组成假设下的可能行星质量范围：100% 冰、50% 冰/50% 岩、类似地球组成以及 100% 铁（依据 Fortney 等, 2007）。
表 3. 可能的行星质量范围（单位：$M_\oplus$）
注：使用 Fortney 等 (2007) 的公式针对参数集 B 计算
| 纯冰 | 50% 冰-岩 | 类似地球 | 纯铁 | |
|---|---|---|---|---|
| Planet b | 0.29 | 0.48 | 1.32 | 3.36 |
| Planet c | 0.46 | 0.77 | 2.27 | 6.30 |
| Planet d | 0.65 | 1.10 | 3.45 | 10.2 |
| Planet e | 0.56 | 0.95 | 2.89 | 8.32 |
| Planet f | 0.33 | 0.55 | 1.55 | 4.06 |
3. 形成
3.1 形成模型
至少提出了六种候选机制来解释近距离、低质量行星的起源（Raymond 等, 2008, 2014）。理论上，这些机制可以通过两个可观测量加以区分：内部行星系统的构型和平均行星密度。在当前约束下，两个主要候选机制分别是：
- 内向迁移的行星胚胎群体通过碰撞生长（Terquem & Papaloizou 2007；Cossou 等, 2014）；
- 近距离行星胚胎的原位吸积（Raymond 等, 2008；Chiang & Laughlin 2013）。
这两种机制可能是协同作用的，即先经历早期的内向迁移阶段，随后经历后期的碰撞阶段（Hansen & Murray 2012；Raymond 等, 2014）。
原位吸积模型的一个问题在于，它要求恒星近旁存在非常大质量的盘。为了使观测到的热超地球能够在局部吸积，典型的内盘必须远比亚毫米观测到的外盘质量更大。此外，内盘还必须遵循更陡峭的表面密度分布。虽然外盘通常遵循 $$r^{-(0.5\ \mathrm{to}\ 1)}$$ 的径向表面密度分布（Mundy 等, 2000；Andrews & Williams 2007b），但“最小质量系外星云”则需要遵循 $$r^{-1.6}$$ 的分布（Chiang & Laughlin 2013）。事实上，由热超地球系统推断出的最小质量盘，其盘面分布范围从 $$r^{0.5}$$ 到 $$r^{-3}$$ 不等（Raymond & Cossou 2014）。这与现有的盘理论存在冲突。因此，由热超地球的分布创建的最小质量盘并不反映新生（气体）原行星盘的性质，而更可能代表在固体内向迁移阶段之后，盘内固体物质的分布（Raymond & Cossou 2014）。
3.2 最小质量盘分析
我们对该系统进行了一个简单的最小质量实验。首先，我们计算了各行星的质量估计。鉴于所有行星的半径都小于 $$1.5\,R_\oplus$$，我们预期它们为岩石质行星（Weiss 等, 2013；Weiss & Marcy, 2014；Lopez & Fortney, 2013；Jontof-Hutter 等, 2014；Marcy 等, 2014a, 2014b）。作为基准，我们假定它们的整体成分与地球相同，并采用相应的质量—半径关系（遵循 Valencia 等, 2006），即 $$M\propto R^{3.7}$$。我们还测试了其他观测推导的质量—半径关系：例如 $$M\propto R^{2.06}$$（Lissauer 等, 2011）以及 Weiss 等 (2013) 提出的基于通量的经验关系。为了获得表面密度，我们将行星的质量分布到同心圆环中。相邻圆环的边界选取为两行星轨道半径的几何平均值。对于最内侧（或最外侧）的行星，我们通过假定与下一个最远（或最近）行星对具有相同的间距来确定内（或外）边界。然后，我们对所推导的表面密度分布拟合了一个幂律。我们在 Raymond & Cossou (2014) 中已验证了该方法。
图 2 展示了该实验的结果。最佳拟合的最小质量盘具有陡峭的分布：$$\Sigma(r)\propto r^{-2.64}$$。采用不同的质量—半径关系，表面密度剖面的斜率保持在一个较为集中的范围内，即 $$\Sigma(r)\propto r^{-(2.5\ \mathrm{to}\ 2.7)}$$。如果更远的行星倾向于具有较高或较低密度，系统成分与轨道距离的系统差异理论上可能改变该拟合斜率，但 Weiss 等 (2013) 的基于通量的关系已将任何较强效应考虑在内，其结果与最佳拟合值非常接近。我们对参数集 A 和参数集 B 都重复了该实验，结果斜率的差异在 ±0.01 以内。本节其余部分的分析采用参数集 A 作为比较样本。
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虽然内侧四颗行星处于“紧密”轨道构型中，但行星 e 与行星 f 之间存在较大间隙。可能在这一空隙中存在一颗尚未检测到的额外行星（见下文）。如果使用所有五颗行星的轨道计算最小质量盘，则可能遗漏行星 e 与 f 之间的物质。因此，我们又仅使用内侧四颗行星重复了最小质量盘实验。这会产生一个较窄的盘，或许更能代表实际情况。通过从拟合中移除最外侧的行星（行星 f），行星 e 的有效表面密度显著增加。这是因为行星 e 与行星 d 的距离远小于与行星 f 的距离，其质量分布所覆盖的圆环变得更窄。由于外侧表面密度大大提高，仅用四颗行星拟合得到的剖面较为平缓，为 $$\Sigma(r)\propto r^{-1.47}$$。虽然该剖面仅基于内侧行星构建，但若将盘延伸至更大轨道半径，则隐含假定在行星 e 与 f 之间存在一颗额外行星，因为外侧区域的总质量远大于仅由行星 f 所包含的质量。如果确实存在额外行星，则基础最小质量盘的斜率将比上文推导的 $$\Sigma(r)\propto r^{-2.6}$$ 更平缓。当然，具体斜率将取决于该额外行星的性质。
从图 2 得到的表面密度剖面可以解释为行星最终形成阶段的初始条件，这一阶段发生在固体物质内向迁移之后。粘性盘模型预测的剖面为 $$r^{-(0.5\ \mathrm{to}\ 1)}$$。亚毫米观测对原行星盘外部区域的研究一致发现相同的剖面（$$\Sigma\propto r^{-(0.5\ \mathrm{to}\ 1)}$$；参见 Williams & Cieza 2011 及其引用文献）。我们最小质量盘分析所推导出的非常陡峭的剖面（$$\Sigma(r)\propto r^{-2.6}$$）可能并不代表气体原行星盘的状态，而是代表气体消散后、最终组装阶段之前盘内固体物质的分布。固体的内向迁移阶段很可能塑造了这种分布。这种迁移可能在物体为巨石尺寸或更小（Weidenschilling 1977；Boley & Ford 2013；Chatterjee & Tan 2014）时发生，也可能在物体约为火星大小或更大时发生（Goldreich & Tremaine 1980；Ward 1997）。迁移往往产生行星在平均运动共振链中的系统（Terquem & Papaloizou 2007；Ogihara & Ida 2009；Cossou 等, 2014；Pierens 等, 2013）。当然，开普勒-186系统中并未观察到这种情况。然而，后期的动力学演化可以将行星从共振中拉出（Terquem & Papaloizou 2007；Cossou 等, 2014）。实际上，这种演化可能非常普遍。当气体盘因相关阻尼力的消失而消散时，自然会触发后期巨碰撞阶段（Cossou 等, 2014）。
3.3 吸积模拟
我们试图通过数值模拟重现开普勒-186系统。模拟起始于图 2 所示的最小质量盘，这些盘很可能已由迁移过程雕刻而成。我们进行了两组 N 体模拟，模拟内容为行星胚胎和微行星的后期吸积，分别在表面密度剖面为 $$\Sigma\propto r^{-2.64}$$ 和 $$\Sigma\propto r^{-1.47}$$ 的盘中进行。每组模拟均包含 10 次独立模拟。初始条件为在 0.03 至 0.5 AU 范围内分布的 40 个行星胚胎和 400 个微行星（这一范围大致对应开普勒-186系统的径向范围）。
吸积的最终阶段具有随机性：即使初始条件略有不同，也会产生不同结果。这即使在无限分辨率下也成立，因为该过程的随机性源于行星胚胎之间的单个散射事件。在后期，通常只剩下少量行星胚胎，“shot noise” 会导致随机行为。我们选择的分辨率在充分捕捉动力学摩擦等物理效应（例如，Raymond 等, 2006；O'Brien 等, 2006）与计算开销之间取得了折衷。已有研究表明，具有相似分辨率的模拟能够捕捉吸积的关键方面（Raymond 等, 2005；Kokubo 等, 2006）。我们忽略了 0.5 AU 以外行星系统的外部区域，因为外部巨行星确实可能影响内部区域的动力学（例如，通过正则共振）。但鉴于缺乏约束，我们倾向于保持模拟设置的简单性。
行星胚胎和微行星的总初始质量为 $$15\,M_\oplus$$。这一数值略高于最小质量盘，但对于生成与观测结果相当的行星是必要的。早期质量较低的盘模拟总是低估行星质量。行星胚胎的物理密度取为 $$3\,\mathrm{g\,cm^{-3}}$$，这与月球和火星的密度相当。行星胚胎的初始倾角在 0 到 $$0.1^\circ$$ 之间随机选择。每个系统均使用 Mercury 混合积分器（Chambers 1999）以 0.2 天的步长积分 10 Myr。碰撞被视为完全合并，且未考虑气体效应。鉴于气体原行星盘寿命较短（Haisch 等, 2001；Hillenbrand 2008），假设无气体环境可能并不现实，但如果认为我们的初始条件是由早期迁移阶段雕刻而成，即代表气体盘消散后盘的状态，则胚胎和微行星质量的选择对结果影响不大（Kokubo 等, 2006）。
图 3. 地球型行星吸积模拟的演化
图 4. 行星质量与轨道半径分布
图 4 显示了 N 体模拟中行星质量与轨道半径的分布，并与实际的 Kepler-186 系统进行了比较。模拟中行星的半径均是假定为类似地球的组成计算得到的，即 $$R\\propto M^{0.27}$$ （Valencia 等, 2006）。吸积得到的行星分布明显保留了它们初始盘面分布的“记忆”（Raymond 等, 2005）。在盘面表面密度剖面较陡（$$r^{-2.64}$$）的盘中形成的行星，在靠近恒星的一侧更大，而在远处则较小；而在表面密度剖面较平缓（$$r^{-1.47}$$）的盘中形成的行星则表现出相反趋势。
表面密度剖面较平缓（$$r^{-1.47}$$）的盘能更好地拟合系统内部的质量分布；然而，两组模拟均未能很好地拟合外部区域。模拟中，在较陡（$$r^{-2.64}$$）的盘中，行星 f 的尺寸系统性地被低估，而在较平（$$r^{-1.47}$$）的盘中则被高估。此外，陡峭盘中最内侧两颗行星的尺寸也系统性地被高估。考虑到较平盘是仅利用内侧四颗行星构建的，这说明在 约 0.1 AU 内形成的行星质量分布与实际情况大致匹配；而更远处行星普遍比实际的行星 f 更大，这并不令人意外。
相对倾角分析
模拟中行星的倾角普遍过大，与实际系统不符。特别重要的是两个行星轨道之间的相对倾角 $$\\Phi_{12}$$，其计算公式为：
$$\\cos\\Phi_{12} = \\cos i_1 \\cos i_2 + \\sin i_1 \\sin i_2 \\cos(\\Omega_1 - \\Omega_2)$$
其中，$$i$$ 表示各行星的轨道倾角，而 $$\\Omega$$ 表示升交点经度。我们对系统中各行星轨道之间的相对倾角一无所知，这种测量只能在如行星与行星相掩星等特殊事件中获得（Ragozzine & Holman 2010；Hirano 等, 2012）。
我们可以利用统计方法对 Kepler-186 系统中各行星的相对倾角进行约束。已知每颗行星均发生凌日，因此在特定轨道相位（即轨道经度）时，各行星的轨道会接近同一平面。如果行星之间的相对倾角很大，那么它们轨道能够如此排列的唯一方法是：一是行星处于倾角共振状态，即它们的升交点经度相似；二是我们的视线正好与该经度（或其反方向）对齐。相邻行星的轨道周期并未表明存在任何共振，因此很难认为行星轨道会自发对齐，从而也不太可能存在大相对倾角。
如果假设行星轨道的对齐是互不相关的，那么我们只需简单地约束每颗行星相对于一个共同平面的倾角。为了简化起见，我们假定该共同平面与开普勒的视线完全对齐。为了保证凌日，每颗行星相对于该平面的倾角必须小于某个临界角。实际上，这一临界角就是恒星的角半径：如果行星相对于共同平面的倾角小于恒星的角半径，则该行星必然会发生凌日。
图 5. 系统相对倾角
图 5 显示了模拟系统中相对于最接近实际 Kepler-186f 类比行星的相对倾角。Kepler-186f 类比行星定义为最接近真实 Kepler-186f 轨道半径的行星。图中阴影区域显示的是行星相对于 Kepler-186f 轨道平面的倾角小于恒星角半径的区域。由于 Kepler-186f 的轨道用作定义共同平面，如果其轨道发生凌日，则阴影区域内的任一行星也会发生凌日；而阴影区域以外的行星统计上不太可能发生凌日，除非它们的升交点经度与视线接近对齐。
显然，从图 5 中可以看出，模拟产生的系统在动力学上过于热乱，行星之间的相对倾角过大，以至于五颗行星同时发生凌日是不可能的（Raymond & Cossou 2014）。观测到的多行星系统通常推断相对倾角不超过几度（Fang & Margot 2012；Tremaine & Dong 2012）。这些过大的相对倾角似乎进一步反对了热超地球原位形成机制。必须有额外的耗散机制将行星轨道拉回到共同平面中。在内向迁移模型中，气体盘可以提供这种耗散，尽管气体盘变薄可能引发后期不稳定（Cossou 等, 2014）。此外，还存在其他机制可以降低行星的相对倾角，例如，在十亿年尺度上，潮汐阻尼可能降低相对倾角（见 Hansen & Murray 2013）。