长太阳日行星气候滞后现象减少
作者
Dorian S. Abbot, Jonah Bloch-Johnson, Jade Checlair, Navah X. Farahat, R. J. Graham, David Plotkin, Predrag Popovic, Francisco Spaulding-Astudillo
芝加哥大学地球物理科学系，美国芝加哥南埃利斯大道5734号，邮编60637；abbot@uchicago.edu
收稿日期：2017年11月21日；修改日期：2017年12月30日；接受日期：2018年1月9日；出版日期：2018年2月6日
摘要
在可居住带中快速自转的类地行星上，冰-反照率反馈可以导致气候在温暖状态和雪球（冰覆盖）状态之间发生突变（分岔），以及在这两种状态之间存在双稳态和滞后现象。
这对于行星的可居性至关重要，因为雪球事件可能触发生命复杂性的增加，但也可能威胁已经存在的复杂生命。
最近的研究表明，处于同步自转状态的潮汐锁定行星将平滑地过渡到雪球状态，而不是经历分岔现象。
在本文中，我们研究了那些受潮汐影响但未同步自转、因此具有较长太阳日的行星上的雪球分岔结构。
我们使用PlaSIM（一种中等复杂度的全球气候模型），结合热力学混合层海洋和太阳光谱。
我们发现，当太阳日长度达到几十个地球日时，气候的滞后现象显著减少；当太阳日长度达到数百个地球日时，滞后现象消失。
这些结果表明，绕M型和K型恒星运行的受潮汐影响但未同步自转的行星，可能比快速自转的行星在雪球分岔上表现出更少的滞后现象。
这意味着，如果这些行星具有较低的CO₂释放速率，其通过CO₂释放脱离雪球状态所需的时间将大大缩短，温暖和雪球状态之间的循环周期也将大大缩短。
关键词
天体生物学 – 行星与卫星：大气层
1. 简介
地球曾经历过几次全球性或接近全球性的冰覆盖事件，这些事件被称为“雪球地球”事件（Kirschvink, 1992; Hoffman et al., 1998）。
这些事件可能通过直接推动进化创新（Kirschvink, 1992; Hoffman et al., 1998; Hoffman & Schrag, 2002）和间接增加大气氧含量（Hoffman & Schrag, 2002; Laakso & Schrag, 2014, 2017）在提升生命复杂性方面发挥了关键作用。
地球上的雪球事件是孤立的，持续时间长达数百万到数千万年（Rooney et al., 2015）。
然而，位于可居住带且二氧化碳释放速率较低的系外行星可能会在温暖状态和雪球状态之间持续循环，其中大部分时间都处于雪球状态（Tajika, 2007; Kadoya & Tajika, 2014; Menou, 2015; Abbot, 2016; Batalha et al., 2016; Haqq-Misra et al., 2016; Paradise & Menou, 2017）。
因此，了解类似地球的系外行星上雪球事件的运作机制对于行星可居性至关重要。
1.1 冰-反照率反馈
当冷却导致低反照率的海洋被高反照率的冰覆盖取代时，就会发生冰-反照率反馈。这种反馈会导致更多的冷却和更多的冰形成。
由于冰-反照率反馈，快速自转的行星在气候上表现出分岔或跳跃现象，在温暖状态和雪球状态之间发生剧烈转变（Budyko, 1969; Sellers, 1969）。
这些分岔现象与一定范围的辐射强迫下的双稳态以及气候滞后现象相关联。
如果我们从温暖状态开始，逐渐减少恒星辐射通量（或等效地减少CO₂浓度），最终气候将通过某个临界恒星辐射通量跃迁到雪球状态。
我们将这一过程称为“温暖到雪球的转变”。
如果我们随后增加恒星辐射通量，即使在先前温暖状态下的辐射水平，气候仍将保持在雪球状态。
当恒星辐射通量增加到足够高时，行星将从雪球状态跃迁到温暖状态，这一过程称为“雪球到温暖的转变”。
1.1.2 气候滞后
由双稳态特性引起的系统路径依赖性称为气候滞后。
我们可以通过以下两个参数来量化滞后现象：
- 行星在双稳态范围内的恒星辐射通量差 (\( \Delta S \))
- 温暖状态和雪球状态之间的全球平均表面温度变化 (\( \Delta T \))
下图对这一现象进行了示意说明。
在该图中，黑色线条代表一个快速自转的理想化行星在全球平均表面温度与恒星辐射通量之间的闭合滞后回路。
系统中的两个分岔点由红色圆圈表示，并标记为“温暖到雪球的转变”和“雪球到温暖的转变”。
双稳态范围 (\( \Delta S \)) 和与雪球到温暖转变相关的全球平均表面温度的增加 (\( \Delta T \)) 由蓝色双箭头表示。
1.1.3 潮汐锁定与同步自转
包括同步1:1自转轨道状态在内的潮汐锁定现象在许多M型和K型恒星的可居住带行星中很常见，这些行星将成为未来观测任务的主要目标（Kasting et al., 1993; Barnes, 2016）。
Checlair et al. (2017) 研究了同步潮汐锁定对雪球状态的影响。他们使用PlaSIM（一种中等复杂度的全球气候模型）表明，同步自转的行星不太可能经历与雪球状态相关的分岔和滞后现象。
相反，这些行星应会平滑地从温暖状态过渡到雪球状态。
Checlair et al. (2017) 将雪球分岔现象的消失归因于来自中心恒星的辐射模式变化，特别是在次恒星点附近，入射辐射显著增加。
1.1.4 气候滞后现象的减少
这张图展示了在理想化的快速自转行星上，全球平均表面温度在允许状态下随恒星通量变化的闭合滞后回路（黑色线条）。系统中的两个分岔点由红色圆圈表示，并标记为“温暖到雪球的转变”和“雪球到温暖的转变”。
行星的双稳态范围（\( \Delta S \)）和与雪球到温暖转变相关的全球平均表面温度的增加（\( \Delta T \)）由蓝色双箭头表示。
并非所有受潮汐影响的行星都会同步自转。当离心率足够高时，它们会被捕获在更高阶的自转状态中（Barnes, 2016）。即使在圆形轨道上，由于大气潮汐，它们也可能避免同步自转（Leconte et al., 2015）。
这引出了一个问题：在一个没有同步自转但拥有非常长太阳日（从一个地方的正午到下一个正午的时间）的行星上，雪球分岔会发生什么？
Boschi & Lucarini (2013) 和 Lucarini et al. (2013) 使用PlaSim进行了模拟，该模型没有陆地，海洋深度为50米，且没有海洋热传输。他们发现，对于太阳日超过约180个地球日的行星，滞后现象会消失。
在相关研究中，Salameh et al. (2017) 使用更复杂的大气全球气候模型（ECHAM6）研究了导致全球冰川化的恒星通量与行星自转速率的关系。
他们发现，自转速率的降低对全球冰川化的恒星通量临界值有复杂的非单调影响，最终在同步自转的情况下，转变发生在更低的恒星通量下。
2. 方法
2.1 模型
我们使用PlaSim（Fraedrich et al., 2005），这是一种与Checlair et al. (2017); Boschi & Lucarini (2013); Lucarini et al. (2013)相同的中等复杂度的三维全球气候模型（GCM）。
PlaSim求解大气动力学的基本方程，并具有辐射传输、对流和云、热力学海冰以及陆地-大气相互作用的计算方案。
我们以T21水平分辨率（\(5.625^\circ × 5.625^\circ\)）运行该模型，并使用10个垂直层。我们使用现代太阳光谱分布，因此不考虑红色恒星对冰-反照率反馈的影响（Joshi & Haberle, 2012; Shields et al., 2013, 2014）。
我们将大气中的CO₂浓度设置为360 ppm，其他痕量温室气体设置为零。PlaSim可以预测性地计算H₂O的辐射效应。
表面边界是一个热力学混合层（板状）海洋，没有强加的海洋热传输，并具有可变的混合层深度。混合层海洋本质上是一层无运动的水，其表面热容量与其深度成正比。
我们使用无陆地的类水星配置，并将离心率和倾角设置为零。
我们采用与Checlair et al. (2017) 相同的基本方法。首先，我们进行模拟以获得平衡气候状态，其中地表要么是无冰覆盖（称为温暖起始状态），要么是100%冰覆盖（称为寒冷起始状态）。
对于特定的参数选择，我们在不同的恒星通量下，从温暖和寒冷起始状态进行模拟。然后使用二分算法将分岔点的恒星通量确定到0.5 W/m²的精度。
我们运行所有模拟，直到它们达到大气顶和地表能量平衡，通常需要60-100个地球年。我们在模拟收敛后的10个地球年内对所有显示的变量进行平均。
我们还在温暖分支上进行了测试模拟，在每次模拟中以5 W/m²的增量减少恒星通量，并从上一次收敛的模拟重新开始。我们发现，这种方法与标准的温暖起始状态方法得到相同的结果。\n
2.2 改变太阳日
根据 Boschi & Lucarini (2013) 和 Lucarini et al. (2013) 的研究，我们通过缩短公转周期来延长太阳日，同时保持行星自转速率不变。本节将描述我们如何修改辐射方案来实现这一目标。
公转周期 (\( T_{\mathrm{orb}} \)) 是行星绕恒星公转一周所需的时间。
恒星日 (\( T_{\mathrm{sid}} \)) 是行星相对于遥远恒星完成一次自转所需的时间。
这意味着每个公转周期的自转次数可以表示为：
\[ N_{\mathrm{sid}} = \frac{T_{\mathrm{orb}}}{T_{\mathrm{sid}}} \]
我们将假定恒星日 (\( T_{\mathrm{sid}} \)) 是常数，但允许自转次数 (\( N_{\mathrm{sid}} \)) 改变。
太阳日 (\( T_{\mathrm{sol}} \)) 是从一个地方的正午到下一个正午所需的时间。
每个公转周期的太阳日次数可以表示为：
\[ N_{\mathrm{sol}} = \frac{T_{\mathrm{orb}}}{T_{\mathrm{sol}}} \]
对于顺行轨道，我们必须满足以下关系：
\[ N_{\mathrm{sid}} = N_{\mathrm{sol}} + 1 \]
因为行星绕中心恒星公转一周会抵消掉一次仅由自转引起的太阳日。
我们将行星上太阳正位于天顶的经度定义为 \( \theta \)（以弧度表示）。
假设行星自转速率和围绕恒星的运动（圆形轨道）是恒定的，我们可以得到：
\[ \theta = \frac{2\pi t}{T_{\mathrm{sol}}} \]
其中，\( t \) 是时间（以地球分钟表示，1分钟=60秒）。
现在假设我们希望在保持 \( T_{\mathrm{sid}} \) 不变的情况下，一致地改变 \( T_{\mathrm{orb}} \) 和 \( T_{\mathrm{sol}} \)。
假设我们考虑一个低阶轨道共振。在这种情况下，\( N_{\mathrm{sid}} \) 定义了共振。例如，如果我们考虑一个2:1的轨道自转共振，那么：
\[ N_{\mathrm{sid}} = 2 \]
由于我们保持自转速率（即 \( T_{\mathrm{sid}} \)）不变，这将意味着一个非常短的公转周期。
我们可以通过以下方式求解太阳日：
\[ T_{\mathrm{sol}} = T_{\mathrm{sid}} \cdot \left(\frac{N_{\mathrm{sid}}}{N_{\mathrm{sid}} - 1}\right) \]
现在我们可以结合以上公式，将经度 \( \theta \) 表示为：
\[ \theta = \frac{2 \pi t}{T_{\mathrm{orb}}} \left(\frac{N_{\mathrm{sid}} - 1}{N_{\mathrm{sid}}}\right) \]
现在假设我们考虑一个理想化的现代地球，其公转周期为360个太阳日，每个太阳日持续 \( 24 \times 60 = 1440 \) 分钟。
这意味着地球有361个恒星日，因此：
\[ T_{\mathrm{sid}} = \frac{360}{361} \cdot 1440 \text{ 分钟} \]
我们将 \( T_{\mathrm{sid}} \) 视为常数，因此可以将上述方程代入角度方程，得到：
\[ \theta = \frac{2 \pi t}{1440} \cdot \left(\frac{361}{360}\right) \]
PlaSim 辐射方案直接使用经度 \( \theta \)，因此我们现在可以为不同的 \( N_{\mathrm{sid}} \) 值指定中心恒星的位置。
利用公式，我们可以为不同的 \( T_{\mathrm{sol}} \) 值指定中心恒星的位置。
2.2.1 极限情况分析
如果行星潮汐锁定，那么：
\[ N_{\mathrm{sid}} = 1 \]
根据公式，\( T_{\mathrm{sol}} \) 将趋于无穷大。这意味着中心恒星会永远位于行星表面同一个位置上。
在这种情况下，经度 \( \theta \) 始终为零，与潮汐锁定的预期一致。
接下来，将公式应用于现代地球。在这种情况下：
\[ N_{\mathrm{sid}} = 361 \]
所以：
\[ \theta = \frac{2 \pi t}{1440} \]
因为 \( T_{\mathrm{sol}} = 1440 \) 分钟，这里我们成功恢复了 \( \theta \) 的定义。
3. 结果
对于一个太阳日为1.99个地球日，海洋混合层深度为50米的情况下，我们再现了熟悉的类地气候分岔图（图2），其展示了由于冰-反照率反馈而在一定的恒星通量范围内存在双稳态的两种独立的气候状态（Budyko, 1969; Sellers, 1969）。
图2： 增加太阳日的长度会减少与雪球分岔相关的滞后现象。该图展示了在太阳日为1.99个地球日（左）和360个地球日（右）时，全球平均表面温度（上图）和海冰覆盖率（下图）随恒星通量变化的关系。红色“x”表示温暖起始模拟，蓝色圆圈表示寒冷起始模拟。
“温暖”状态具有大片开放海洋区域，并且全球平均表面温度高于约250 K。而“雪球”状态则是全球冰封的，全球平均表面温度低于约225 K。
在接近全球冰覆盖的转变附近，还存在一个几乎但不完全被冰覆盖的状态（图2）。<\mark>这一状态与Abbot et al. (2011) 和 Rose (2015)讨论的状态类似，但其机制不同，因为PlaSim对雪和裸露海冰使用相同的反照率，并且我们使用的是没有海洋热传输的板状海洋。
</p>
这一状态与某种滞后现象相关，可能被认为是一个独立的状态。然而，它在我们考虑的大多数情景中并未显现，因此在本文中我们将其简单地视为温暖状态的极端分支。
当我们将太阳日增加到360个地球日时，我们发现与冰-反照率反馈相关的全球气候分岔现象消失了（图2），这与Checlair et al. (2017) 在同步自转情况下的发现一致。
在较长的太阳日下，气候会平滑地过渡到全球冰封状态。冰-反照率反馈仍然可以通过行星部分被冰覆盖时全球平均表面温度的斜率增加观察到（图2），但这种反馈不足以导致滞后和双稳态。
在少数情况下，温暖起始模拟和寒冷起始模拟的平衡气候之间仍存在一些微小差异。Checlair et al. (2017) 发现，这些小差异实际上代表了一种由海冰方案限制（只能是100%冰覆盖或无冰覆盖）而允许的连续状态，并不与标准的全球冰-反照率反馈相关（Budyko, 1969; Sellers, 1969）。
我们可以得出结论，对于一个太阳日为360个地球日的行星，气候表现得就像行星处于潮汐锁定状态一样。随着太阳日的增加，滞后现象的幅度迅速下降，直到太阳日达到约100个地球日的尺度，然后缓慢下降，最终完全消失（图3）。
图3： 该图展示了随着太阳日的增加，滞后和双稳态如何丧失。图中显示了行星在双稳态范围内的恒星通量范围 (\( \Delta S \)，上图) 和与雪球到温暖转变相关的全球平均表面温度变化 (\( \Delta T \)，下图) 随太阳日的变化。黑色曲线表示海洋混合层深度为50 m，红色曲线表示为1 m。
正如Boschi & Lucarini (2013) 所指出的，随着滞后现象的消失，气候从以自转轴对称（小太阳日）逐渐转变为接近同步自转行星所观察到的对称性（图4）。
图4： 随着太阳日的增加，对称轴发生变化。该图展示了不同太阳日下的海冰覆盖（浅蓝色）和开放海洋覆盖（深蓝色）的地图。红色“x”表示次恒星点。
对于太阳日为1.99个地球日的情况，行星表面的冰覆盖模式呈现出纬向对称性。而对于太阳日为360个地球日的情况，行星表面的冰覆盖模式围绕连接次恒星点和反次恒星点的轴对称（略微向东偏移）。在中间的太阳日范围内，行星表面的冰覆盖模式在这两个极限之间逐渐过渡。
与此相反，随着太阳日的延长，温暖到雪球转变的恒星通量基本保持恒定（图5）。
当太阳日变长时，赤道点的地表温度日变化幅度增大。这使得夜间发生冰川化的可能性增加。
对于较短的太阳日，行星呈现纬向对称性（图4），因此夜间冰川化很可能导致全球冰川化。
对于较长的太阳日，行星可以支持在夜间出现冰覆盖而在白天赤道地区存在开放海洋的状态（图4）。
这些状态通常与在相似恒星通量下纬向对称状态相比，白天的冰覆盖较少（Salameh et al., 2017）。
这意味着在较长的太阳日下，必须比预期更大幅度地降低恒星通量，才能引发全球冰川化。
在PlaSim模型中，较大的昼夜温度变化与行星对称性的改变之间的复杂相互作用导致温暖到雪球的转变几乎独立于太阳日的长度。但这一结果可能并不适用于所有模型。
图5： 该图展示了温暖到雪球转变和雪球到温暖转变的恒星通量如何随太阳日长度变化。分岔之间的双稳态区域用洋红色表示。温暖到雪球转变基本不受太阳日的影响，但随着太阳日增加，雪球到温暖转变的恒星通量显著降低。所有模拟均使用50米混合层深度。
增加太阳日长度导致雪球到温暖转变发生在更低的恒星通量下（图6）。
对于较长的太阳日，次恒星点在行星表面移动得更慢，使得次恒星区域（赤道地区）的温度有更多时间升高（图6）。
结果是，次恒星点发生融化，导致由于融池的形成而降低次恒星点的反照率，这是PlaSim模型中参数化的一个过程。
这导致地表吸收的恒星辐射显著增加，使赤道区域全年保持温暖。
因此，赤道地区的冰层变薄（图6）。
一旦冰层厚度小于其季节变化（大约2米），冰层将在次恒星点融化，触发强烈的冰-反照率反馈，并导致从雪球状态脱离。
图6： 该图展示了为什么增加太阳日长度会导致雪球到温暖转变在较低的恒星通量下发生。图中展示了赤道网格点的地表热通量（上图）、地表温度（中图）和冰层厚度（下图）随时间的变化，分别对应太阳日为30.91个地球日（蓝色）和90.75个地球日（红色）。恒星通量为1200 W/m²，模型在这两种情况下都处于雪球状态。
接下来我们考虑混合层深度的变化如何影响雪球分岔和滞后现象。
将混合层深度从50米减少到1米显著降低了滞后现象消失时的太阳日长度（图3）。
改变混合层深度不会影响雪球到温暖的转变（图7）。
在这一转变发生时，海洋表面被冰覆盖，因此海洋混合层深度不会影响地表气候。
减小混合层深度会以一种直接的方式增加温暖到雪球转变的恒星通量（图7）。
图7： 该图展示了温暖到雪球转变和雪球到温暖转变的恒星通量如何随海洋混合层深度变化。双稳态区域以洋红色表示。雪球到温暖转变的恒星通量与混合层深度无关，但温暖到雪球转变的恒星通量随着混合层深度增加而减少。
图8： 该图展示了为什么增加海洋混合层深度会导致温暖到雪球转变在更高的恒星通量下发生。图中展示了赤道网格点的地表热通量（上图）和地表温度（下图）随时间的变化，分别对应混合层深度为50米（绿色）和15米（洋红色）。恒星通量为1235 W/m²，太阳日为30.91个地球日，模型在这两种情况下都处于温暖状态。
Checlair et al. (2017) 提出了一个问题：行星需要多接近同步自转，才能失去雪球分岔和气候滞后现象。
我们的结果（第3节）表明，即使太阳日略微延长（图3），也会显著减少气候滞后现象，但要完全消除滞后，太阳日需要达到数百个地球日。
Leconte et al. (2015) 表明，处于圆形轨道上的行星可能被捕获在每轨道大约两次自转的自旋状态中。这意味着它们的太阳日大致等于它们的公转周期（第2.2节）。
根据 Kopparapu et al. (2016) 的比例关系，一颗接收与地球相同恒星通量的行星，对于恒星质量为太阳质量50%的恒星，其公转周期大约为65个地球日。
我们的结果表明，太阳日为65个地球日且海洋混合层深度为50米的行星，在恒星通量范围内的滞后现象大约是现代地球的三分之一。
如果海洋混合层深度为1米，则几乎完全失去了滞后现象。
如果恒星质量为太阳的80%，类似的行星将拥有209个地球日的太阳日，这将进一步减少滞后现象。
此外，如果考虑到红色恒星光谱导致的冰反照率降低（Joshi & Haberle, 2012; Shields et al., 2013, 2014），这些滞后现象的减少将更加显著。
本研究代表了一个理想化的调查，旨在揭示随着太阳日的增加，气候滞后现象如何消失的物理机制。
为了在理论上保持清晰性，我们有意孤立了太阳日的变化，同时保持其他变量不变。
要将这些结果应用于观测到的行星，必须使用恒星光谱、公转距离、公转周期、偏心率、行星自转速率、行星大小、大气质量以及所有其他相关变量的最佳观测估计值进行模拟。
准确考虑这些变量中的每一个都可能影响结果，正如 Kopparapu et al. (2016) 在重新审视 Yang et al. (2013) 的更理想化研究时所展示的那样。
在本研究中，我们没有包括海洋和厚冰的动力学过程。
海洋环流的一个重要方面是，在拥有深海洋的行星夜侧，可能发生对流，将混合层延伸到海洋底部。
这将减少夜侧表面温度的下降，并延缓温暖到雪球的转变。
厚冰从高纬度向赤道的有效流动（Goodman & Pierrehumbert, 2003; Pollard & Kasting, 2005; Goodman, 2006; Li & Pierrehumbert, 2011; Tziperman et al., 2012; Abbot et al., 2013; Pollard et al., 2017）可能会使赤道地区的冰层增厚。
尽管存在第3节中描述的机制，这种冰层增厚将减小随着太阳日增加而引起的雪球到温暖转变时的恒星通量减少。
这两个效应都会使行星经历的滞后现象比我们在这里估计的更大。
需要使用包含海洋动力学和厚冰流动的模型进行更多的研究，以确定这些问题的重要性。
许多位于可居住带、二氧化碳释放速率较低的行星，可能会在温暖和雪球状态之间持续循环，而不是稳定在温暖状态（Tajika, 2007; Kadoya & Tajika, 2014; Menou, 2015; Abbot, 2016; Batalha et al., 2016; Haqq-Misra et al., 2016; Paradise & Menou, 2017）。
如果假设CO₂释放通量恒定，停留在雪球状态的时间与导致脱离雪球状态所需的CO₂浓度成正比（Abbot, 2016）。
由于增加太阳日会减少导致雪球脱离所需的外部强迫（图7），这意味着太阳日较长且CO₂释放速率较低的行星将在温暖和雪球气候状态之间经历更快的循环。
然而，围绕M型和K型恒星运行的行星，由于较小的冰-海洋反照率对比，不太可能经历气候循环（Haqq-Misra et al., 2016）。
我们在本研究中未考虑CO₂在雪球状态下的凝结效应（Turbet et al., 2017）。
当地表温度降至195 K以下时（在1巴表面压力下CO₂的升华点），即使在赤道地区，也可能发生CO₂凝结（图6）。
这是一个值得进一步研究的问题。
CO₂凝结不会显著影响我们的计算，因为我们假设大气中的CO₂浓度较低，并且改变的是恒星通量。
然而，在涉及碳循环和CO₂变化的雪球情景中（Walker et al., 1981; Kirschvink, 1992; Hoffman et al., 1998），CO₂凝结可能很重要。
次恒星点缓慢移动以及显著的昼夜温度变化，将强制CO₂升华和凝结，使这一问题特别有趣。
本模型使用的热力学海冰方案采用了0D Semtner公式（Semtner, 1976）。
这意味着冰内部没有分层，温度剖面被假设在底部的熔点与顶部的表面温度之间是线性的。
这种近似在冰层厚度小于其临界厚度的几倍时是合理的：
\[
z^* = \sqrt{\frac{k P}{\pi}}
\]
其中 \( k \approx 10^{-6} m^2 s^{-1} \) 是冰的热扩散率，\( P \) 是表面强迫变化的周期（太阳日）。
对于 \( P = 30 \) 地球日，\( z^* = 0.9 \) 米；对于 \( P = 90 \) 地球日，\( z^* = 1.6 \) 米。
这意味着在大多数太阳日长度范围内，该海冰模型对表面温度和融化过程提供了合理的近似。
然而，使用更复杂的海冰模型来研究这些过程可能会提供更多的洞见。
模型中使用的热力学海冰方案采用了0D Semtner公式（Semtner, 1976）。
这意味着冰内部没有分层，并且假设冰内部的温度分布在底部熔点与顶部表面温度之间是线性的。
只要冰的厚度小于临界厚度的几倍，这种近似将会产生合理的冰层热通量和表面温度。
临界厚度可以用以下公式表示：
\[
z^* = \sqrt{\frac{k P}{\pi}}
\]
其中，\( P \) 是表面强迫（太阳日）的变化周期，\( k \approx 10^{-6} \, m^2 s^{-1} \) 是冰的热扩散率（Abbot et al., 2010）。
当 \( P = 30 \) 个地球日时，\( z^* = 0.9 \, m \)；当 \( P = 90 \) 个地球日时，\( z^* = 1.6 \, m \)。
这意味着在所考虑的大多数太阳日长度范围内，当冰层足够薄（小于约2米）以导致从雪球状态解冻时，该海冰模型应提供合理的表面温度（和融化）近似（图6）。
尽管如此，使用更复杂的海冰模型来研究这些过程可能仍然是有趣的。
倾角为90°的行星在恒星通量上的变化与处于2:1自旋-轨道共振状态的行星相似。
我们的结果表明，如果其公转周期为数十到数百天，这样的行星在行星气候滞后方面可能会有所减少。
Kilic et al. (2017) 使用类似的建模框架进行的计算表明，这确实是事实，尤其是在温暖状态被定义为至少存在一些开放海洋的任何状态时，就像我们在这里所做的那样。
我们使用 PlaSIM（一种中等复杂度的全球气候模型），结合混合层海洋且不考虑海洋热传输，研究了行星气候中的雪球分岔和滞后现象与太阳日长度之间的关系。
我们的主要结论如下：
如果太阳日增加到数十个地球日，行星气候中的滞后现象（存在双稳态的恒星通量范围）将显著减少。
这一效应在海洋混合层深度较小的情况下更为显著。这对于任何受潮汐影响但未同步自转的围绕M型或K型恒星运行的行星都具有相关性。
如果太阳日增加到数百个地球日，行星气候中的滞后现象将消失，行星将平滑地过渡到雪球状态。
这可能与围绕晚期M型和K型恒星运行、受潮汐影响的行星有关。
增加太阳日长度主要通过减少雪球到温暖转变的恒星通量来降低行星气候中的滞后现象。
当太阳日较长时，次恒星点被加热的时间更长，这导致融化并降低该处的反照率，从而导致全天的平均表面温度更高且冰层更薄。
一旦冰层变得足够薄，它将在其昼夜最低温度时融化到海洋中，触发大规模的冰-反照率反馈，最终导致完全解冻。
减小海洋混合层深度主要通过增加温暖到雪球转变的恒星通量来减少行星气候中的滞后现象。
原因在于，其他条件相同时，较小的混合层深度会导致海洋表面温度的波动更大。
这意味着在温暖状态下，赤道地区表面温度的昼夜最低值更有可能降至冰点以下，导致冰的形成，并触发大规模的冰-反照率反馈，最终导致完全冰川化。
我们感谢 R. Boschi 分享和解释他对 PlaSIM 辐射代码的修改，以及 T. Komacek 对本文早期草稿的意见。
我们承认来自 NASA 天体生物学研究所虚拟行星实验室的支持，该实验室由 NASA 在合作协议 NNH05ZDA001C 下提供支持。
我们感谢 NASA “宜居世界”项目（Habitable Worlds program）下编号为 NNX16AR85G 的资助。
我们还感谢美国国家科学基金会（NSF）颁发的奖项编号1623064的支持。
P.P. 获得了 NASA 地球与空间科学奖学金的支持。
3.1 滞后和双稳态的消失
冰川化与太阳日的关系
混合层深度的影响
4. 讨论
4.1 海洋与厚冰动力学
4.2 CO₂与气候循环
4.3 CO₂凝结的影响
4.4 模型的局限性
倾角与自旋-轨道共振
5. 结论
5.1 太阳日对气候滞后的影响
5.2 长太阳日与平滑转变
5.3 雪球到温暖的转变
5.4 海洋混合层深度的影响
5.5 致谢